در این بخش مهمترین فرمول های مقدماتی و پرکاربرد مشتق و انتگرال ارائه شده است. در ضمن، فرمول های پرکاربرد مثلثاتی در محاسبه انتگرال را می توانید مشاهده نمائید.
اگر در مباحث انتگرال و مشتق اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست اساتید ریاضی را ببینید.
1- فرمول های مقدماتی و پرکاربرد مشتق
در تصویر زیر مهمترین روابط و فرمول های مقدماتی مشتق گیری را می توانید مشاهده کنید. سعی کنید این روابط را به خاطر بسپارید. مشتق گیری نه تنها در درس ریاضی بلکه در درس های دیگر مانند فیزیک و شیمی هم کاربرد دارد. به عنوان مثال در درس فیزیک اگر معادله مکان زمان را به ما داده باشند و معادله سرعت زمان را بخواهند باید به نسبت زمان از آن مشتق بگیرید. در درس شیمی هم اگر بخواهیم سرعت انجام واکنش ها را محاسبه کنیم باز هم به مشتق گیری نیاز داریم. به صورت کلی مشتق از مهمترین مباحث ریاضی است و هم در خود درس ریاضی مورد سوال قرار می گیرد و هم اینکه در درس های دیگر کاربرد دارد. به عنوان مثالی دیگر، اگر بخواهیم شیب خط مماس بر منحنی در هر نقطه را محاسبه کنیم باز نیاز است مشتق گیری و فرمول های مشتق را بلد باشیم. در تصویر زیر مهمترین روابط مشتق گیری ارائه شده است. به عنوان مثال مشتق عدد ثابت برابر صفر می شود و مشتق توابع مثلثاتی و توابع نمایی هم که بسیار مهم هستند در تصویر زیر ارائه شده است. بسیاری از مسائل مشتق تابع ln و توابع لگاریتمی را مد نظر دارند که در تصویر زیر روابط مربوط به آن را هم می توانید مشاهده کنید. اگر در مبحث مشتق گیری اشکال دارید حتما از معلم های ریاضی کمک بگیرید. در کنار یادگیری این فرمول ها بر تکنیک های مهم محاسبه مشتق مانند قاعده زنجیری هم مسلط باشید.
حتما بخوانید: مهمترین فرمول های مشتق با مثال، جزوه pdf و فیلم
2- مهمترین فرمول های اولیه با کاربرد زیاد انتگرال
علاوه بر مشتق، یکی از مهمترین و پرکاربردترین مباحث ریاضی انتگرال است. انتگرال هم کاربردش فقط به درس ریاضی محدود نمی شود. اولین کاربردی که برای انتگرال می توان ذکر کرد محاسبه مساحت زیر نمودار است. انتگرال می تواند معین و نامعین و ساده، دوگانه و یا سه گانه باشد. در مقطع متوسطه و دبیرستان فقط انتگرال ساده تدریس می شود و در مقطع دانشگاه انتگرال های چندگانه هم آموزش داده خواهد شد. برای اینکه بتوانید مسائل و تمرین های انتگرال را حل کنید یک بخش مهم کار این است که بر فرمول های مهم انتگرال گیری مسلط باشید. البته برای انتگرال روابط و فرمول های زیادی وجود دارد و نمی توان همه ی فرمول ها را حفظ کزد. اما در هر صورت، سعی کنید مهمترین روابط را بلد باشید. در تصویر زیر مهمترین فرمول های انتگرال گیری ارائه شده است. برای چند جمله ای ها، توابع کسری، توابع مثلثاتی، نمایی، رادیکالی و .... می توانید مهمترین فرمول های انتگرال گیری را در تصویر زیر ببینید. برای توابع مثلثاتی هیپربولیک هم می توانید مهمترین روابط را در ادامه ببینید. البته برای حل سوالات انتگرال فقط بلد بودن این فرمول ها کافی نیست و باید تکنیک های انتگرال گیری مانند جزء به جزء و تغییر متغیر را هم بلد باشید. در هر صورت، به عنوان قدم اول، فرمول های زیر را به خاطر بسپارید.
مطالعه نمائید: مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین
3- فرمول های پرکاربرد مثلثاتی در محاسبه انتگرال
در بسیاری از موارد ممکن است از شما خواسته شود یک انتگرال مثلثاتی را حل کنید. البته بعضا برای حل انتگرال های کسری و رادیکالی هم از تغییر متغیر مثلثاتی استفاده می کنید. در هر صورت، چه در حالتی که خود انتگرال شامل توابع مثلثاتی باشد و چه در حالتی که بخواهید از تغییر متغیر مثلثاتی برای حل یک انتگرال استفاده کنید، در هر صورت، لازم است مهمترین فرمول ها و روابط مثلثاتی را بلد باشید. در همین سایت ایران مدرس مطالب بسیار مفید و درجه اولی در زمینه روابط مثلثاتی مهم ارائه شده است. به عنوان مثال مقاله مهمترین فرمول های مثلثاتی، جدول روابط مثلثاتی و جمع بندی فرمول های مثلثات را بخوانید. در تصویر زیر هم می توانید فرمول های پرکاربرد مثلثاتی در محاسبه انتگرال را مشاهده نمائید. روابط که در تصویر زیر ارائه شده است حداقل روابطی است که باید بلد باشید. با استفاده از این روابط می توانید عبارت مثلثاتی زیر انتگرال را ساده تر کنید و یا به فرمی آن را تغییر دهید که محاسبه انتگرال آن ساده تر باشد. بسیاری از دانشجویان و دانش آموزان در محاسبه انتگرال های مثلثاتی اشکال دارند و بهتر است روی این فرمول ها و این بحث زیاد کار کنید. در نظر داشته باشید که اگر در زیر انتگرال یک تابع مثلثاتی در یک تابع چند جمله ای ضرب شده باشد، احتمالا استفاده از روش جزء به جزء راهکار خوبی برای حل چنین انتگرال هایی خواهد بود. فرمول های زیر را به خاطر بسپارید.
پیشنهاد می شود مشاهده کنید: فیلم آموزشی ریاضی - مثال تشریحی محاسبه انتگرال با تغییر متغیر مثلثاتی
منبع: نمونه صفحات کتاب ریاضی عمومی ۱ (ویژه دانشجویان دانشگاه صنعتی امیرکبیر)
