در این بخش آموزش آموزش انتگرال جز به جز همراه با حل مثال ارائه شده است. روش جزء به جزء در محاسبه انتگرال ها بسیار پرکاربرد است و بسیاری از انتگرال های سخت را به انتگرال ساده تری تبدلی می کند.
انتگرال‌گیری جزء به جزء در علم ریاضیات و بخصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیرممکن یا پیچیده است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می‌شود. در واقع انتگرال گیری جز به جز به صورت مستقیم پاسخ انتگرال را به شما نمی دهد بلکه انتگرالی که باید حل کنید را با روش جزء به جزء می توانید به یک انتگرال ساده تر تبدیل نموده و در ادامه انتگرال ساده تر را حل نمائید.
پیشنهاد می شود مقاله نحوه محاسبه انتگرال های رادیکالی با حل مثال را هم بخوانید.
در ادامه انتگرال جز به جز توضیح داده می شود. به صورت ساده اگر u = f(x) و v = g(x) و همچنین دیفرانسیل آن‌ها به صورت du = f '(x) dx و dv = g'(x) dx باشد داریم:
به صورت خلاصه تر می توان نوشت:
در واقع باید با تمرین کردن این مهارت را بدست بیاورید که عبارت زیر انتگرال را به دو تابع f و g تقسیم بندی کنید. آن بخشی از عبارت زیر انتگرال که به راحتی می توانید از آن مشتق بگیرید را f بنامید و بخشی که به راحتی می توانید از آن انتگرال بگیرید را g بنامید. در ادامه با استفاده از فرمول های بالا انتگرال جدید را در طرف دوم تساوی تشکیل دهید و محاسبات را کامل انجام دهید. استفاده از انتگرال جز به جز به تمرین نیاز دارد. وقتی به اندازه کافی تمرین حل کرده باشید دید خوبی خواهید داشت و می توانید به خوبی تشخیص دهید کدام بخش را باید g و کدام بخش را باید f در نظر بگیرید. در ادامه مثال هایی برای یادگیری بهتر انتگرال جز به جز ارائه می شود. پیشنهاد می شود حتما بخوانید: دانلود رایگان جزوه خلاصه و عالی آموزش انتگرال جزء به جزء همراه با مثال تشریحی
برای مشاهده لیست مدرسین ریاضی که در یادگیری انتگرال و سایر مباحث می توانند به شما کمک کنند بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید.
مثال 1 آموزش انتگرال جز به جز: در شکل زیر انتگرال xsinx با روش جز به جز محاسبه شده است. مشاهده می شود که x را به عنوان تابعی که قرار است از آن مشتق گرفته شود و sinx را به عنوان تابعی که قرار است از آن انتگرال گرفته شود انتخاب کرده ایم. این انتخاب ها باید درست انجام شود. اگر شما برعکس این کاری که اینجا انجام شده را انجام می دادید، انتگرال نهایی ای که در روش جز به جز بدست می آوردید ساده تر که نمی شد هیچ، سخت تر هم می شد. ادامه حل مثال تا به نتیجه رسیدن آن در شکل زیر نشان داده شد است.
مثال 2 آموزش انتگرال جز به جز: بسیاری از دانشجویان و دانش اموزان در محاسبه انتگرال Lnx مشکل دارند. همانطور که در شکل زیر می توانید مشاهده نمائید با استفاده از روش جز به جز محاسبه انتگرال Lnx بسیار ساده است. کافی است خود Lnx را به عنوان تابعی که قرار است از آن مشتق گرفته شود و عدد 1 را به عنوان تابعی که قرار است از آن انتگرال گرفته شود در نظر بگیرید. ادامه حل مثال در شکل زیر نمایش داده شده است. مشاهده می کنید که با کاربرد صحیح روش جز به جز، انتگرالی که در نهایت در سمت راست تساوی بدست آمده است یک انتگرال بسیار ساده است و در نتیجه استفاده از این روش می تواند بسیار مفید باشد.
پیشنهاد می شود مقاله چگونه انتگرال را یاد بگیرم را هم مطالعه نمائید.
در این بخش انتگرال جزء به جزء همراه با حل سوال، تمرین و مثال آموزش داده شد. البته اگر می خواهید از این روش به خوبی استفاده کنید ابتدا باید انتگرال های ساده را خوب بلد باشید محاسبه کنید. چون همانطور که گفته شد، در این روش شما یک انتگرال سخت که محاسبه آن حتی ممکن است عملی نباشد را به یک انتگرال ساده تر تبدیل می کنید. بنابراین حل انتگرال اول مستقیما بدست نمی آید و بلکه انتگرال سخت با روش جز به جز به انتگرال ساده تر تبدیل می شود. بنابراین باید حداقل در انتهای کار بلد باشید انتگرال ساده را با روش های معمول حل نمائید.
برای دانلود رایگان فرمول های انتگرال گیری کلیک کنید : دانلود تمامی روابط و فرمولهای انتگرال گیری
منبع: ایران مدرس
