در این مقاله مهمترین فرمول های مثلثاتی، جدول روابط مثلثاتی و جمع بندی فرمول های مثلثات ارائه شده است. فرمول های مثلثاتی اهمیت بسیاری زیادی در درس ریاضی دارند و برای انتگرال گیری، رفع ابهام حد، حل معادلات و .... استفاده خیلی زیادی دارند.
اگر در درس ریاضی و مبحث مثلثات اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی لینک تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین خانم و آقا را مشاهده نمائید.
رایگان دانلود کنید: بهترین فرمولهای مثلثات
دایره مثلثاتی
قبل از ارائه هر فرمول و رابطه ای باید کار با دایره مثلثاتی را به خوبی بلد باشید. در شکل زیر دایره مثلثاتی نشان داده شده است. شعاع دایر مثلثاتی برابر 1 در نظر گرفته می شود. در مثلثی که در شکل زیر نمایش داده شده است ضلع رو به رو به زاویه تتا نشان دهنده سینوس و ضلع مجاور نشان دهند کسینوس تتا است. تانژانت، کتانژانت و سایر نسبت های مثلثاتی هم در شکل زیر نمایش داده شده است. خوب دایره مثلثاتی را مورد بررسی قرار دهید و آن را یاد بگیرید. در مقاله زیر در رابطه با دایره مثلثاتی توضیحات بسیار خوبی ارائه نموده ایم.
حتما بخوانید: دایره مثلثاتی دهم همراه با جزوه pdf و فیلم رایگان
تعریف نسبت های مثلثاتی را هم باید به خوبی بلد باشید. به عنوان مثال تعریف سینوس در واقع ضلع رو به رو بر وتر است. در یک مثلث قائم زاویه بزرگترین ضلع که رو به روی زاویه قائمه است وتر نام دارد. تعریف کسینوس هم همان ضلع مجاور بر وتر می باشد. سکانت و کسکانت هم به ترتیب حاصل تقسیم عدد 1 بر کسینوس و سینوس هستند. تعریف تانژانت و کتانژانت را هم باید به خوبی بلد باشید. در واقع تانژانت برابر است با حاصل تقسیم ضلع رو به رو به ضلع مجاور و کتانژانت هم عکس تانژانت است، یعنی کتانژانت یک زاویه برابر است با حاصل تقسیم ضلع مجاور به ضلع رو به رو.
در هر مثلث قائم زاویه ای می توانید این تعریف ها را داشته باشید. خلاصه اینکه قبل از پرداختن به روابط و نسبت های مثلثاتی و سعی در حفظ کردن جدول مثلثاتی باید تعریف ها را خوب بلد باشید و دایره مثلثاتی را هم یاد بگیرید. به شکل زیر دقت نمائید. نواحی 1، 2، 3 و 4 مثلثاتی هم در شکل زیر نمایش داده شده است.
این جزوه خوب را هم از دست ندهید: دانلود فرمولهای مهم و پرکاربرد مثلثاتی
پیشنهاد می شود دانلود رایگان بهترین جزوه های آموزشی، سوال امتحانی و تست کنکور مثلثات و نسبت های مثلثاتی را مطالعه نمائید.
علامت نسبت های مثلثاتی
در هر 4 ناحیه باید حواستان با علامت نسبت های مثلثاتی باشد. به عنوان مثال در ناحیه 2 چون y مثبت است و سینوس از تقسیم ضلع رو به رو (همان y) بدست می آید، در نتیجه سینوس در ناحیه 2 مثبت است. اما در همان ناحیه 2 چون x منفی است و کسینوس از تقسیم ضلع مجاور (همان x) بر وتر بدست می آید، در نتیجه کسینوس در ناحیه 2 منفی است. بنابراین این موارد را خودتان می توانید بدست بیاورید. در ناحیه سوم هم x و هم y منفی هستند و تانژانت و کتانژانت چون از تقسیم این دو مقدار منفی بر هم بدست می آیند، در نتیجه حاصل آنها مثبت خواهد شد.
اگر تتا زاویه ای در ناحیه ی اول باشد, در ناحیه ی اول تمام نسبت های مثلثاتی مثبت است. اگر زاویه در ناحیه ی دوم باشد فقط سینوس sin مثبت است. اگر زاویه مورد بررسی در ناحیه ی سوم باشد در ناحیه ی سوم سینوس sin و cos منفی و تانژانت tg و کتانژانت cotg مثبت است. اگر زاویه در ناحیه ی چهارم باشد, در ناحیه ی چهارم فقط cos مثبت است. به عنوان مثال اگر بخواهید برای زاویه 135 درجه نسبت های مثلثاتی را بدست آورید، فارغ از اینکه جواب دقیق آن چه مقداری خواهد شد، چون زاویه 135 درجه در ناحیه دوم قرار دارد (بین 90 و 180 درجه است) در نتیجه، فقط سینوس این زاویه مثبت است و تانژانت، کتانژانت و کسینوس 135 درجه عددی منفی خواهد شد. برای تسلط بر بحث نسبت های مثلثاتی این موارد را در نظر داشته باشید.
حتما بخوانید: دانلود سوالات امتحانی ریاضی دهم مبحث نسبت های مثلثاتی با پاسخ کاملا تشریحی
مهمترین روابط و فرمول های مثلثاتی
در ادامه مهمترین روابط و فرمول های مثلثاتی ارائه می شود. روابطی که در تصویر زیر نمایش داده شده است جزو مهمترین فرمول های مثلثاتی هستند و حتما باید به خاطر سپرده شوند. در بسیاری از موارد در محاسبه انتگرال ها، حل معادلات مثلثاتی، رفع ابهام در حدهایی که شامل یکی از نسبت های مثلثاتی است و .... از روابط زیر استفاده می شود. اگر نمی خواهید تمام فرمول های مثلثاتی را حفظ باشید حداقل 10 رابطه زیر را باید خیلی خوب بلد باشید.
این مقاله عالی را بخوانید: مهمترین فرمول های مثلثاتی کنکور و جمع بندی و خلاصه فرمول های مثلثات
مطالعه دانلود رایگان مجموعه تست های کنکور نسبت های مثلثاتی هم مفید است.
فرمول های مثلثات 2 و 3 برابر کمان
در ادامه فرمول های مثلثات 2 و 3 برابر کمان ارائه می شود. در بسیاری از موارد سینوس یا مثلا کسینوس دو برابر کمان داده می شود و بسط آن از ما خواسته می شود. یا در محاسبه حد و انتگرال و مشتق فرمول های زیر مورد نیاز خواهد بود. اگر در این مباحث اشکال دارید از معلم های ریاضی کمک بگیرید. مثلثات از بحث های بسیار مهم در درس ریاضی است و نه تنها از خود این مبحث مستقیم در امتحان و کنکور سوال مطرح می شود بلکه حل مسائل بسیاری از مباحث دیگر ریاضی مانند مشتق و انتگرال تا حد زیادی به این بستگی دارد که چقدر بر روابط مثلثاتی مسلط هستید. مبحث مثلثات در دروس دیگر مانند فیزیک و دروس رشته های مهندسی هم بسیار پرکاربرد است. اگر می خواهید روابط و فرمول های مثلثاتی را به صورت یکجا داشته باشید.
این فایل عالی با فرمت pdf را دانلود نمائید: دانلود جزوه pdf عالی روابط و فرمولهای مثلثاتی
فرمول های سینوس و کسینوس بر حسب تانژانت نصف کمان
در شکل زیر فرمول های سینوس و کسینوس بر حسب تانژانت نصف کمان ارائه شده است. این روابط هم پرکاربرد هستند و خوب است که با آن آشنایی داشته باشید.
حتما مطالعه نمائید: جزوه خلاصه بسیار خوب فرمول ها و معادلات مثلثاتی با حل مثال تشریحی
جدول روابط مثلثاتی
در جدول زیر هم برای مهمترین زوایا مقدار نسبت های مثلثاتی نمایش داده شده است. سعی کنید حداقل برای زوایای زیر 90 درجه مقادیر ارائه شده در جدول زیر را حفظ کنید. البته اگر سینوس و کسینوس را حفظ کنید کافی است. چون مثلا تانژانت هر زاویه ای از تقسیم سینوس آن زاویه بر کسینوس آن زاویه بدست می آید.
سایر فرمول ها و روابط مهم مثلثاتی
در ادامه سایر فرمول ها و روابط مهم مثلثاتی ارائه شده است.
فرمول های بسط نسبت های مثلثاتی
روابط زیر هم در حل معادلات مثلثاتی و در بسیاری از موارد در محاسبه انتگرال و مشتق و ... پرکاربرد است.
مطالعه جزوه آموزش دایره ی مثلثاتی، روابط بین نسبت های مثلثاتی و اتحادهای مثلثاتی هم مفید است.
فرمول های مهم مثلثات تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع
در پایان فرمول های مهم مثلثات تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع ارائه شده است. روابط زیر هم بسیار کاربردی هستند و به خاطر سپردن آنها مفید است. به عنوان مثال در محاسبه بسیاری از انتگرال های مثلثاتی استفاده از روابط ضرب به جمع کاملا مفید است.
برای اینکه لیست بسیار کاملتری از فرمول ها و روابط مثلثاتی را مشاهده کنید بر روی این لینک و یا این لینک کلیک کنید.
کلیک کنید: دانلود رایگان جزوه آموزش مثلثات و فرمول های مهم مثلثاتی
منبع: ایران مدرس
