مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین در این بخش توضیح داده شده است. سعی شده اساسی ترین فرمول های انتگرال که کاربرد بیشتری دارند ذکر شود.
پیشنهاد ویژه ایران مدرس: دانلود تمامی روابط و فرمولهای انتگرال گیری
1- فرمول انتگرال توابع کسری: از مهمترین توابع کسری همان 1/x است که رابطه آن در ادامه ذکر شده است. همانطور که مشاهده می کنید نتیجه چنین انتگرالی به صورت Lnx بدست آمده است. بسیاری از انتگرال های کسری ممکن است نتیجه آنها به فرم Ln باشد. البته در بسیاری از موارد یک تغییر متغیر لازم است.
پیشنهاد می شود حتما ببینید: بهترین فیلم های آموزشی انتگرال، 10 فیلم برتر در زمینه آموزش انتگرال با بهترین بازدهی
2- فرمول انتگرال توابع گویا و چند جمله ای ها: در ادامه روابط مرتبط با انتگرال توابع گویا و چند جمله ای ها ارائه شده است. همانطور که می دانید محاسبه این نوع انتگرال ها بسیار آسان است. به عنوان مثال در انتگرال چند جمله ایها کافی است یک عدد به توان اضافه کنید و همان توانی که به این ترتیب بدست می آید را در مخرج هم قرار دهید (به دومین رابطه از فرمول های زیر دقت کنید). در روابط زیر، دو فرمول آخر دوباره برای انتگرال های کسری ارائه شده است و همانطور که می بینید Lnx دوباره خودش را نشان داده است.
چنانچه در مباحث انتگرال اشکال دارید بر روی عبارت معلم خصوصی ریاضی کلیک کنید.
بنابراین برای توابع کسری این نکته را مد نظر داشته باشید. البته چون Ln نمی تواند مقادیر منفی را قبول کند بنابراین در جواب انتگرال یک قدرمطلق هم استفاده شده است. روابط زیر را با دقت مورد بررسی قرار دهید. ممکن است انتگرال هایی که به شما داده می شود به سادگی انتگرال های زیر نباشد و لازم باشد از تکنیک هایی مانند تغییر متغیر و جز به جز و .... هم استفاده نمائید. ولی به هر حال اولین قدم این است که بر فرمول های انتگرال گیری مسلط باشید و آنها را خوب یاد گرفته باشد.
این مقاله خوب را هم حتما ببینید: بهترین فیلم های آموزشی، جزوه و مقالات آموزش انتگرال به زبان ساده و با مثال تشریحی
پیشنهاد می کنیم دانلود جزه رایگان عالی انتگرال را هم مطالعه نمائید.
3- فرمول انتگرال تابع نمایی و توانی: در ادامه روابط مرتبط با انتگرال گیری تابع نمایی و توانی ارائه شده است. در تابع توانی وقتی که پایه عدد نپر و یا همان e است، انتگرال گیری خیلی راحت خواهد بود و در حقیقت همان عبارت زیر انتگرال جواب انتگرال خواهد شد (به اولین فرمول از روابط زیر دقت کنید). البته اگر توان به جای x تابعی از x باشد ممکن است ضرایب اضافه ای هم در جواب انتگرال لازم باشد و یا لازم باشد از تغییر متغیر استفاده کرد. در هر صورت این نوع انتگرال جواب ساده و مشخصی دارد. فرمول انتگرال تابع نمایی در حالتی که پایه عدد نپر نباشد هم در ادامه ارائه شده است (همان روابط پایین فرمول دوم را ببینید).
در رابطه با انتگرال e و انتگرال توابع نمایی حتما مقاله خیلی خوب و کامل انتگرال e و فرمول ها و روابط انتگرال توابع نمایی را بخوانید.
4- فرمول انتگرال توابع لگاریتمی: بسیاری از دانشجویان و دانش آموزان در محاسبه انتگرال توابع لگاریتمی اشکال دارند. فرمول های انتگرال لگاریتم در ادامه ارائه شده است. برای محاسبه انتگرال Lnx باید از روش جزء به جزء استفاده کرد که در این مقاله توضیح داده شده است. بهتر است روش محاسبه انتگرال را یاد بگیرید. البته اگر وقت کمی دارید همین فرمول هایی که اینجا ارائه شده است را حفظ نمائید.
برای مشاهده لیست مدرسین ریاضی که می توانند در مبحث انتگرال و یا هر مبحث دیگری از درس ریاضی به شما در یادگیری بهتر درس کمک کنند بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید.
5- فرمول انتگرال توابع مثلثاتی: از مهمترین توابعی که انتگرال آنها معمولا مورد سوال قرار می گیرد توابع مثلثاتی است. برای توابع مثلثاتی ممکن است فرمول های زیادی را در مراجع مشاهده کنید که به خاطر سپردن همه ی آنها شاید ممکن نباشد و یا خیلی سخت گردد. به همین دلیل مهمترین فرمول ها فقط در این بخش ذکر شده است. توابع مثلثاتی علاوه بر اینکه خودشان در مبحث انتگرال گیری می توانند مورد سوال قرار گیرند، در بسیاری از موارد برای تغییر متغیر هم از آنها استفاده می شود. مهمترین فرمول های انتگرال گیری تابع های مثلثاتی در ادامه ارائه شده است.
اگر می خواهید در زمینه انتگرال تابع های مثلثاتی اطلاعات کاملتری را بدست آورید مقاله انتگرال توابع مثلثاتی را حتما بخوانید.
6- فرمول انتگرال تابع های مثلثاتی معکوس: یکی از موارد مهم دیگر توابع مثلثاتی معکوس است. روابط زیر در زمینه انتگرال این توابع می تواند مفید باشد. با کمی دقت در این فرمولها می توانید قاعده مشخصی را پیدا کنید و آنها را به خاطر بسپارید.
برای کسب اطلاعات بیشتر در رابطه با انتگرال توابع معکوس مثلثاتی مقاله بسیار خوب و کامل انتگرال توابع معکوس مثلثاتی را بخوانید.
مطالعه مقاله دانلود 121 فرمول انتگرال گیری هم مفید است.
7- فرمول انتگرال توابع هذلولوی: ممکن است در مقطعی که الان تحصیل می کنید با این توابع هذلولوی آشنا باشید و یا نباشید. به هر حال این توابع با استفاده و با کمک عدد نپر تعریف می شوند. در این بخش با نحوه تعریف این توابع کاری نداریم و فقط فرمول های انتگرال گیری چنین توابعی را ذکر خواهیم کرد. برای انتگرال گیری از توابع هذلولوی روابط زیر بسیار مفید هستند.
برای sinhx و coshx روابط و نتایج انتگرال بسیار مشابه توابع مثلثاتی معمولی است. دقت کنید که بلد بودن و حفظ کردن فرمول های مهم انتگرال گیری نه تنها در محاسبه انتگرال های معمولی، بلکه در حل انتگرال های دوگانه و انتگرال سه گانه در مقطع دانشگاه هم به شما کمک می کند. بنابراین قدم اول برای کسب توانایی در حل سوالات انتگرال این است که بر مهمترین روابط انتگرال گیری مسلط باشید.
8- فرمول انتگرال تابع های هذلولوی معکوس: مشابه هر تابع دیگری، برای توابع هذلولوی هم می توان معکوس تعریف کرد و معکوس این توابع هم می تواند انتگرال داشته باشد. فرمولهای انتگرال گیری توابع معکوس هذلولوی در ادامه ارائه شده است.
مطالعه دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری هم پیشنهاد می شود.
9- فرمول انتگرال توابع قدرمطلق: در بسیاری از موارد ممکن است تابع زیر انتگرال قدرمطلق داشته باشد. در این حالت می توانید از فرمول های زیر استفاده کنید و یا اگر انتگرال معین است، بازه انتگرال گیری را به بخش هایی تقسیم بندی کنید که علامت عبارت زیر انتگرال در آن بخش ها مشخص است. در ادامه با این روش دوم و با حذف قدرمطلق می توانید انتگرال را به صورت معمولی محاسبه نمائید. یعنی اگر در یک زیر بازه عبارت زیر انتگرال مثبت است با خیال راحت قدرمطلق را بردارید و انتگرال را محاسبه کنید و اگر در زیر بازه دیگری منفی است، در آن زیر بازه هم قدر مطلق را بردارید و عبارت زیر انتگرال را در یک منفی ضرب کنید و بعد انتگرال را به صورت معمولی محاسبه کنید. به هر حال، فرمول های زیر برای محاسبه انتگرال قدرمطلق مفید است.
10- فرمول انتگرال های معین: در حقیقت برای انتگرال های معین فرمول خاص و جداگانه ای وجود ندارد. از همین روابطی که اینجا ذکر شده است برای انتگرال های معین هم می توان استفاده کرد و در مرحله آخر وقتی که جواب بدست آمد باید حد بالا را در جواب جاگذاری نمود و حد پایین را هم جاگذاری کرد و در نهایت جواب حد پایین باید از حد بالا کم شود.
پیشنهاد می شود مطالب تكنيك هاي انتگرال گيري و دانلود جزوه آموزشی انتگرال را هم مشاهده نمائید.
همچنین مطالعه کنید: چگونه انتگرال حل کنیم
11- نحوه به خاطر سپردن فرمول های انتگرال گیری: روابطی که در این بخش برای یادگیری انتگرال ارائه شده است مهمترین روابط می باشد. البته واضح است که با وجود زیاد بودن تعداد این روابط باز هم فرمول های دیگری وجود دارد که اینجا ذکر نشده است (البته در بالا جزوه هایی معرفی شده که فرمولهای کامل را دارند). اما ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید که این روابط که تعداد آنها خیلی زیاد است را چگونه به خاطر بسپاریم. نکته اول اینکه انتگرال گیری عکس مشتق گیری است. اگر شما در مبحث مشتق گیری روابط را قبلا حفظ کرده اید همان روابط را به صورت برعکس برای انتگرال می توانید مورد استفاده قرار دهید.
مثلا اگر مشتق sinx برابر cosx است، انتگرال cosx هم همان sinx خواهد شد. بنابراین شما اگر فرمول های مشتق گیری را حفظ هستید همین الان بسیاری از فرمول ها انتگرال گیری را هم بلد هستید. اما ممکن است بعضی از روابط برای شما تازگی داشته باشد که باید با تمرین و تکرار و حل تمرین و مسئله آنها را برای خودتان ساده تر کنید. وقتی تمرین حل می کنید و روی این مبحث تمرکز دارید فرمول های پرکاربرد به صورت مداوم برای شما تکرار می شود و بعد از مدتی خواهید دید که آنها را بدون اینکه عمدا تلاشی کرده باشید حفظ هستید.
بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان در رابطه با مفهوم انتگرال و انتگرال گیری اشکال دارند و با وجود اینکه سال های سال با آن سر و کار داشته اند اما نمی دانند که حتی انتگرال چیست و چه کاربردهایی دارد؟ انتگرال در واقع عکس مشتق گیری است و بسته به تابعی که از آن انتگرال می گیریم می تواند معنا و مفهوم متفاوتی داشته باشد. به عنوان مثال وقتی برای یک تابع یا نمودار داده شده انتگرال را محاسبه می کنید در واقع مساحت زیر نمودار را بدست آورده اید. در بسیاری از موارد برای انجام برخی از محاسبات در دروس شیمی و فیزیک یا دروس رشته های فنی مهندسی لازم است از انتگرال ها استفاده کنیم.
برای کسب اطلاعات بیشتر در این زمینه پیشنهاد می شود مقاله بسیار عالی و کامل انتگرال چیست به زبان ساده را بخوانید. درست است که باید مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین را بلد باشید و بر تکنیک های انتگرال گیری هم مسلط باشید، اما بسیار خوب و لازم است که ابتدای کار با مفهوم و کاربردهای انتگرال آشنا باشید که در مقاله مذکور کامل توضیح داده شده است.
مشاهده فرمول های انتگرال گیری در ویکی پدیا
منبع: ایران مدرس (استفاده از مطالب با ذکر منبع و لینک به ایران مدرس مجاز است)
