در این مقاله در رابطه با انتگرال e (عدد نپر) و فرمول ها و روابط انتگرال توابع نمایی توضیحاتی ارائه می گردد. یکی از توابع مهم که در مبحث انتگرال گیری به تنهایی و یا در ترکیب با توابع چند جمله ای و مثلثاتی و .... مطرح است تابع نمایی e است. انتگرال توابع نمایی به صورت معین و نامعین و فرمول های انتگرال e را در ادامه می توانید مشاهده نمائید.
اگر در مبحث انتگرال e و یا انتگرال گیری به صورت کلی و یا هر مبحث دیگری از درس ریاضی اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. برای مشاهده لیست مدرسین ریاضی بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک نمائید. مشاهده فیلم آموزش انتگرال توابع نمایی - انتگرال e هم مفید است.
1- حاصلضرب انتگرال e در چند جمله ای ها
در شکل زیر حالت هایی را مشاهده می کنید که تابع e در چند جمله ای ها ضرب شده است. انتگرال e به توان منفی ایکس و به توان منفی ایکس دو و حتی توان های بالاتر هم در تصویر زیر نمایش داده شده است. همانطور که مشاهده می کنید وقتی چند جمله ای ضرب شده در e در صورت باشد به نسبت وقتی که توان آن منفی باشد و یا به عبارتی چند جمله ای در مخرج باشد نتیجه کاملا متفاوت است. در حالتی که چند جمله در صورت باشد از روش جزء به جزء می توان انتگرال را حل کرد. بنابراین در انتگرال تابع نمایی باید هم به فرمول ها و روابط زیر توجه کنید و هم بعضا نحوه محاسبه این انتگرال ها ممکن است مورد سوال قرار بگیرد.
2- انتگرال های فقط شامل توابع نمایی و تابع e^cx
در ادامه فرمول های ساده و اولیه ای که برای انتگرال های فقط شامل توابع نمایی و تابع e^cx وجود دارد ارائه شده است. شاید انتگرال e^cx ساده ترین انتگرالی باشد که وجود دارد و جواب آن همان e^cx تقسیم بر c است. روابط زیر بسیار مورد نیاز است و سعی کنید حتما به خاطر بسپارید.
فیلم آموزشی ریاضی نمونه تدریس خصوصی - نحوه محاسبه انتگرال Ln(x) با انتگرال گیری جز به جز هم مفید است.
3- انتگرال شامل توابع نمایی (e) و توابع مثلثاتی
در علوم مختلف ممکن است با انتگرال هایی برخورد داشته باشید که حاصلضرب تابع نمایی و تابع مثلثاتی است. چنین انتگرال هایی بسیار متداول است و در ادامه روابط مربوط به این انتگرال ها را می توانید مشاهده کنید. در این انتگرال ها ممکن است sinx و یا cosx توان 1 و یا هر توان دلخواه دیگری داشته باشند. این نوع انتگرال ها هم با روش جزء به جزء قابل محاسبه است. با دو بار جز به جز گیری عبارتی که در حال انتگرال گیری از آن هستید در طرف دوم انتگرال هم ایجاد می شود. به این ترتیب انتگرال به راحتی محاسبه خواهد شد. توصیه می شود انتگرال هایی که در تصویر زیر ارائه شده است را محاسبه کنید. برای کسب اطلاعات بیشتر در رابطه با روش جزء به جزء برای انتگرال گیری مقاله آموزش انتگرال جز به جز همراه با حل مثال را بخوانید یا فیلم آموزشی انتگرال جزء به جزء از درس ریاضی با حل مثال تشریحی را ببینید.
4- انتگرال های نمایی شامل error function
در ادامه روابط ارائه شده است که انتگرال های تابع e در حالت های خاصی مورد محاسبه قرار گرفته است. توجه کنید در حالتی که زیر انتگرال e به توان منفی x و یا منفی ایکس دو می رسد پای تابع ارور به میان می آید. انتگرال e به این شکل معمولا در مقطع دانشگاه مورد بررسی قرار می گیرد. برای مشاهده تعریف erf(x) در اینترنت جستجو کنید. روابط زیر حالت های مهمی از انتگرال توابع نمایی را نشان می دهد.
مطالعه بهترین فیلم های آموزشی، جزوه و مقالات آموزش انتگرال به زبان ساده و با مثال تشریحی هم مفید است.
5- حالت های خاص از انتگرال e
در ادامه حالت های خاصی از انتگرال تابع نمایی بررسی شده است. به عنوان مثال انتگرال e به توان ایکس دو را می توانید مشاهده نمائید. در روابط نمایش داده شده در شکل زیر تابع گاما هم قابل مشاهده است. نکته دیگر اینکه در حالت هایی ممکن است تابع نمایی کلا در مخرج کسر قرار گیرد و یا در یک تابع کسری هم در مخرج و هم در صورت کسر تابع e را داشته باشیم. در شکل زیر این حالت ها مورد بررسی قرار گرفته است.
6- تعدادی دیگر از مثال های ساده انتگرال e
در تصویر زیر تعدادی از مثال های ساده انتگرال e و انتگرال تابع نمایی نمایش داده شده است. همانطور که مشاهده می کنید محاسبه انتگرال توابع نمایی به صورتی که در شکل زیر نمایش داده شده است بسیار راحت می باشد و توصیه می شود فرمول ها و مثال های زیر را به خاطر بسپارید. آخرین انتگرالی که در شکل زیر ارائه شده است همان انتگرال چند جمله ای در تابع e است که با استفاده از روش جزء به جزء به راحتی قابل محاسبه می باشد. در شکل مثال های ساده ای ارائه شده است و در تصاویر بالا مثال ها و فرمول های سطح بالاتری را می توانید مشاهده کنید. کلیک کنید: دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری
در این مقاله انتگرال e و فرمول ها و روابط انتگرال توابع نمایی از درس ریاضی مورد بررسی قرار گرفت. انتگرال هایی که در بالا ارائه شد حالت های انتگرال نامعین است. یعنی محدوده انتگرال مشخص نشده است. برای مشاهده موارد بیشتر و فرمول های انتگرال گیری e برای حالت انتگرال معین بر روی این لینک کلیک کنید. انتگرال e از مهمترین و پرکاربردترین انتگرال ها در ریاضی است. روابطی که در این مقاله بررسی شد را مورد بررسی قرار دهید و بعضی از این روابط را که مهمتر هستند به خاطر بسپارید و اثبات کنید.
حتما بخوانید: دانلود 121 فرمول انتگرال گیری
منبع: ایران مدرس
