نحوه محاسبه انحراف معیار و واریانس از درس آمار با مثال تشریحی

در این مقاله نحوه محاسبه انحراف معیار و واریانس با مثال تشریحی از درس آمار توضیح داده شده است. اگر می خواهید فرمول انحراف معیار و نحوه محاسبه آن را یاد بگیرید ادامه این مطلب را بخوانید.

اگر در درس آمار و در زمینه محاسبه واریانس و انحراف معیار اشکال دارید از مدرسین مجرب کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی آمار کلیک کنید تا لیست اساتید خوب آمار را ببینید. مطالعه دانلود خلاصه جزوه آموزش آمار - فراوانی یک داده و فراوانی نسبی آن به زبان ساده با حل مثال تشریحی هم مفید است.

انحراف معیار (به انگلیسی: standard deviation) (نماد σ) یکی از شاخص های پراکندگی است که نشان می‌دهد به‌طور میانگین داده‌ها چه مقدار از مقدار متوسط فاصله دارند. اگر انحراف معیار مجموعه‌ای از داده‌ها نزدیک به صفر باشد، نشانه آن است که داده‌ها نزدیک به میانگین هستند و پراکندگی اندکی دارند؛ در حالی که انحراف معیار بزرگ بیانگر پراکندگی قابل توجه داده‌ها می‌باشد. انحراف معیار برابر ریشه دوم واریانس است. خوبی آن نسبت به واریانس، این است که هم بعد با داده‌ها می‌باشد. معمولا انحراف معیار به نسبت واریانس در تحلیل داده های آماری کاربرد بیشتری دارد و نشان دهنده میزان پراکندگی داده ها است. به هر میزان انحراف معیار کمتر باشد به این معنی است که پراکندگی داده ها کمتر است.



مطالعه کنید: آموزش درس آمار - مد یا نما داده ها، تعریف مد با مثال تشریحی

انحراف معیار برای تعیین ضریب اطمینان در تحلیل‌های آماری نیز به کار می‌رود. در مطالعات علمی، معمولاً داده‌های با اختلاف بیشتر از دو انحراف معیار از مقدار میانگین به عنوان داده‌های پرت در نظر گرفته و از تحلیل، خارج می‌شوند. انحراف معیار برای یک مجموعه متناهی، برابر است با جذر میانگین مربعات اختلاف داده‌ها با میانگینشان. نمونه عددی زیر می‌تواند نحوه محاسبه انحراف معیار را نشان دهد. نمرات یک کلاس به صورت زیر اعلام شده‌است:

۱۲، ۱۶، ۱۸، ۲۰، ۱۵، ۱۸، ۱۴، ۱۷، ۱۳، ۱۷

تعداد داده‌ها (جمعیت) برابر ۱۰ است. نخست، میانگین داده‌ها محاسبه می‌شود:



سپس مربع اختلاف مقدار هر داده با میانگین به دست می‌آید. یعنی هر داده را از میانگین کم می کنیم و به توان 2 می رسانیم.



در گام بعدی، واریانس داده‌ها که مجموع مربعات اختلاف داده‌ها با میانگینشان تقسیم بر تعداد منهای 1 است، به دست می‌آید:



در گام نهایی، جذر واریانس به عنوان انحراف معیار داده‌ها در نظر گرفته می‌شود:



مطالعه دانلود رایگان جزوه آموزش آمار - معیارهای گرایش به مرکز با مثال تشریحی و جزوه خلاصه آموزش آمار - واریانس، انحراف معیار، ضریب تغییرات و چارک با حل مثال تشریحی هم مفید است.

مقدار انحراف معیار به دست آمده در صورتی درست است که از همه جمعیت موجود استفاده شود. اگر نمونه‌های تصادفی از داده‌ها انتخاب شده و انحراف معیار برای آن نمونه‌ها به دست آید، باید یک واحد از مقدار مخرج در گام پیش از نهایی کم شود. (در این مثال، اگر ۱۰ داده‌ی نمایش داده شده نمونه ای تصادفی از تعداد بیشتری داده بود، باید به جای ۱۰، مقدار ۹ قرار می‌گرفت) این تغییر را اصلاح بِسِل می‌نامند. معمولاً با افزایش تعداد داده‌ها توزیع آن‌ها به منحنی توزیع نرمال میل پیدا می‌کند. در توزیع نرمال، ۶۸٫۲٪ داده‌ها در فاصله کمتر از یک انحراف معیار نسبت به میانگین قرار دارند. این مقدار برای فاصله‌های دو و سه انحراف معیار، به ترتیب ۹۵٫۴٪ و ۹۹٫۷٪ است. به بیان دیگر، احتمال آن که اختلاف یک داده با میانگین، بیش از سه انحراف معیار باشد، تنها ۰٫۳٪ (تقریباً معادل ۱ در ۳۰۰) است. نمودار توزیع نرمال داده‌های تصادفی در تصویر زیر ارائه شده است.



مشاهده فیلم نمونه تدریس آمار و احتمال - محاسبه میانگین در جدول فراوانی و فیلم آموزش ریاضی و آمار - کاربرد واریانس در زندگی هم مفید است. در تصویر زیر هم فرمول انحراف معیار را به صورت واضح تر می توانید مشاهده کنید.



در تصویر زیر هم می توانید مثال دیگری برای محاسبه انحراف معیار را مشاهده کنید. ابتدا باید میانگین و واریانس را محاسبه کنید و در ادامه با جذر گرفتن از واریانس standard deviation یا انحراف معیار بدست می آید. مثال زیر به صورت گام به گام و تشریحی حل شده است. سعی کنید مثال زیر را یک بار دیگر خودتان حل کنید.



مطالعه نمائید: دانلود خلاصه جزوه درس آمار

اگر بخواهید با اصلاح بسل فرمول انحراف معیار را داشته باشید باید از رابطه زیر استفاده نمائید. در رابطه زیر به مخرج دقت کنید که منهای 1 شده است.



پیشنهاد می شود بخوانید: دانلود رایگان خلاصه جزوه آموزش آمار - برآورد نقطه ای و بازه ای با مثال تشریحی

منبع: ایران مدرس