در این بخش نمونه سوال امتحانی و مثال های حل شده انتگرال به همراه جزوه pdf و فیلم آموزش انتگرال گیری ارائه شده است. اگر می خواهید انتگرال را خوب یاد بگیرید این مقاله عالی را از دست ندهید.
چنانچه در مبحث انتگرال اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین ریاضی را ببینید.
مثال حل شده از انتگرال چندجمله ای ها
در تصویر زیر مثال ساده ای از انتگرال چندجمله ای ها را می توانید مشاهده نمائید. برای محاسبه انتگرال کافی است توان را به اضافه یک کنید و همان توان بدست آمده را در مخرج هم قرار دهید. به عبارتی انتگرال x^n برابر است با (1/n+1)x^n+1. به مثال زیر در این زمینه دقت کنید.
برای دانلود رایگان جزوه خوب انتگرال با فرمت pdf کلیک کنید: دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری
مثال بعدی از بحث انتگرال های چند جمله ای با توان کسری
مثال دیگری در ادامه ارائه شده است. توجه کنید که از همان فرمول بالا استفاده شده است. نتیجه نهایی بدست آمده را به صورت رادیکالی نوشته ایم. توجه کنید که در انتگرال های نامعین به جواب نهایی عدد ثابت c را اضافه می کنیم.
این فیلم آموزش انتگرال گیری را ببینید: نمونه فیلم تدریس ریاضی - آموزش نحوه محاسبه انتگرال مثلثاتی با استفاده از روش تغییر متغیر
مثال حل شده از انتگرال رادیکالی
انتگرال های شامل رادیکال در تمرینات و سوالات امتحانی بسیار مورد سوال قرار می گیرد. در مثال زیر ابتدا رادیکال به فرم تابع چند جمله ای نوشته شده است و سپس انتگرال محاسبه شده و در نهایت جواب نهایی دوباره به فرم رادیکالی ارائه شده است. این روش برای محاسبه انتگرال های رادیکالی بسیار مفید است.
مطالعه نمائید: نحوه محاسبه انتگرال های رادیکالی با حل مثال
حل سوال امتحانی از انتگرال کسری رادیکالی
ممکن است یک تابع کسری که قرار است از آن انتگرال بگیرید شامل رادیکال هم باشد. دوباره مشابه مثال قبل رادیکال را به فرم تابع چند جمله ای نوشته ایم و سپس به صورت کسر منتقل نموده ایم (علامت توان تغییر می کند) و به راحتی انتگرال محاسبه شده است. جواب نهایی را دوباره به فرم رادیکالی نوشته ایم.
مطالعه انتگرال توابع کسری هم مفید است.
مثال حل شده از انتگرال کسری
در تصویر زیر انتگرال کسری به عنوان مثال مورد بررسی قرار گرفته است. توجه کنید که کسر را تفکیک نموده ایم و سپس انتگرال هر بخش را جداگانه محاسبه کرده ایم. روش تفکیک کسرها برای محاسبه انواع انتگرال های کسری قابل استفاده است. البته اگر توان عبارت قرار گرفته در صورت از توان عبارت قرار گرفته در مخرج بیشتر باشد تفکیک کسر کار راحت تری است.
یک جزوه انتگرال دیگر با فرمت pdf: دانلود جزوه بسیار عالی فرمولها و روشهای انتگرال گیری
حل مثال انتگرال کسری شامل توابع مثلثاتی
برای حل انتگرال های شامل توابع مثلثاتی ممکن است از فرمول های مثلثاتی و اتحادها استفاده نمائیم. در مثال زیر دقت کنید که ابتدا صورت کسر را به دو پرانتز تجزیه نموده ایم و کسر را ساده کرده و در مرحله بعد انتگرال را محاسبه نموده ایم. همیشه سعی کنید عبارت زیر انتگرال را تا جایی که ممکن است ساده کنید و بعد انتگرال را محاسبه نمائید.
مطالعه انتگرال توابع مثلثاتی هم مفید است.
اگر در مبحث انتگرال اشکال دارید از معلم های ریاضی کمک بگیرید.
سوال امتحانی انتگرال مثلثاتی همراه با جواب
در شکل زیر هم یک انتگرال مثلثاتی به عنوان مثال مورد بررسی قرار گرفته است. توجه کنید که تانژانت و کتانژانت را با عبارت های مناسب جایگزین نموده ایم و مخرج مشترک گرفته ایم. در ادامه در صورت کسر بدست آمده از فرمول های مثلثاتی استفاده نموده ایم (sin2x=2sinxcosx) و بعد از ساده سازی انتگرال به راحتی محاسبه شده است.
مثال حل شده انتگرال تابع نمایی و انتگرال e
در ادامه انتگرال e و توابع نمایی مورد بررسی قرار گرفته است. انتگرال e خیلی ساده قابل محاسبه است و در واقع انتگرال e^x برابر همان e^x است. مثال زیر را مورد بررسی قرار دهید.
این فیلم مفید آموزش انتگرال را هم ببینید: فیلم آموزش نحوه محاسبه انتگرال های رادیکالی به زبان ساده و با حل مثال تشریحی
مثال های بیشتر از انتگرال e و انتگرال ln
در ادامه مثال های بیشتری از انتگرال e و ln حل شده و مورد بررسی قرار گرفته است. دقت کنید وقتی عدد پشت ln قرار می گیرد می تواند به داخل ln منتقل شود و به عنوان تابعی که ln از آن گرفته می شود در نظر گرفته شود. مثال های زیر می توانند به عنوان سوال امتحانی انتگرال هم مطرح باشند و بنابراین با دقت بررسی نمائید.
حل مثال از انتگرال با جواب توابع معکوس مثلثاتی
اگر مشتق توابع معکوس مثلثاتی را بلد باشید متوجه خواهید شد که برخی از انتگرال های رادیکالی و کسری جواب نهایی ای که دارند برای چنین توابعی خواهد شد. به مثال زیر دقت کنید و حل آن را مورد بررسی قرار دهید. اگر مشتق تابع معکوس سینوس را بلد باشید جواب نهایی برای شما بسیار واضح خواهد بود.
مطالعه کنید: انتگرال توابع معکوس مثلثاتی
در تهیه این مقاله از کتاب انتگرال خور آقای حسین ایزن استفاده شده است.
منبع: ایران مدرس
