در این بخش سوالات امتحانی درس اجزاء محدود FEM کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک با جواب تشریحی ارائه شده است. برای حل این سوالات لازم است الگوریتم روش المان محدود، روش های انتگرال باقیمانده وزنی و روش حداقل مربعات، روش تغییراتی و فانکشنال، کاربرد المان محدود در تحلیل تنش و انتقال حرارت و .... را بلد باشید. Finite Element Method روش بسیار کاربردی و موثر برای تحلیل مسائل مهندسی است.
برای مشاهده لیست اساتید و مدرسین روش اجزاء محدود بر روی عبارت تدریس خصوصی اجزا محدود کلیک کنید.
سوال اول از امتحان درس المان محدود ارشد مهندسی مکانیک را در ادامه می توانید مشاهده کنید. برای هر سوال سعی شده است نحوه بدست آوردن جواب و پاسخ توضیح داده شود.
جواب سوال اول: برای حل این سوال باید الگوریتم روش المان محدود را پیاده کنیم. مرحله اول جدا سازی یا Descretization است. البته برای خرپا هر عضو آن را به عنوان یک المان در نظر می گیریم. در ادامه باید متغیر میدانی مناسبی انتخاب گردد که در این مسئله همان جابجایی گره ها است. در مرحله بعد باید ماتریس سختی المانی و بردار نیروی المانی محاسبه شود. در مراحل بعد هم اسمبل کردن ماتریس سختی، اعمال شرایط مرزی و حل معادلات برای بدست آوردن متغیر میدانی انجام می شود. در نهایت می توان مرحله پس پردازش را هم انجام داد و کرنش ها و تنش ها را محاسبه نمود. ماتریس سختی المانی برای هر عضو خرپا در شکل زیر نمایش داده شده است. اگر a زوایه عضو خرپا با راستای افق باشد، در تصویر زیر آلفا همان cos (a) و بتا همان sin (a) است.
حتما بخوانید: آشنایی با روش المان محدود (FEM) به صورت گام به گام
جواب سوال دوم: در روش حداقل مربعات تابع وزن به صورت A(Q) است که در آن A عملگر خطی و Q تابع آزمون می باشد. روش حداقل مربعات الزام می کند که انتگرال مربع باقیمانده باید کمینه گردد. برای حل قسمت الف این سوال باید ابتدا معادله دیفرانسیل حاکم بر مسئله نوشته شود. سپس با استفاده از توضیحات داده شده، تابع وزن محاسبه شده و در فرمول انتگرال باقیمانده های وزنی قرار داده شود تا ضریب ثابت محاسبه گردد. البته در نظر داشته باشید که تابع آزمون را قبلا پیشنهاد داده ایم. تابع آزمون باید شرایط مرزی را ارضا نماید و با فیزیک مسئله هم همخوانی داشته باشد. مطالعه کنید: دانلود رایگان نمونه سوال امتحانی درس روش اجزاء محدود مقطع کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک
برای حل قسمت دوم سوال باید functional را از معادله دیفرانسیل استخراج نمائیم. روش تغییراتی مستقیم در واقع باقیمانده های وزنی را با روش variation ادغام می کند تا فانکشنال مسئله استخراج گردد. انتگرال باقی مانده های وزنی را می نویسیم و قضیه دیورژانس را اعمال می نمائیم. به این ترتیب weak form مسئله بدست می آید. در ادامه تابع وزن را برابر تغییرات متغیر میدانی در نظر گرفته و جاگذاری می کنیم. در نهایت با مرتب سازی رابطه بدست آمده و انجام یک سری عملیات ریاضی فانکشنال مسئله بدست می آید. سپس، تابع آزمون که شامل یک تعداد ثابت های c مجهول است پیشنهاد داده می شود و در رابطه جایگذاری می گردد. در پایان با گرفتن first variation از این فانکشنال و برابر صفر قرار دادن آن ثوابت مجهول c بدست آمده و مسئله حل می گردد.
برای حل قسمت سوم سوال هم از همان فانکشنال بدست آمده در بخش قبل استفاده می کنیم و آن را برای یک المان می نویسم. در ادامه با انجام یک سری عملیات ریاضی و مرتب سازی رابطه بدست آمده ماتریس سختی المانی و بردار نیروی المانی را بدست می آوریم. سپس برای تمام المان ها ماتریس سختی و بردار نیرو را بدست آورده، اسمبل کردن، اعمال شرایط مرزی و ... را انجام داده و مسئله را حل می کنیم.
مطالعه نمائید: نمونه سوال امتحانی درس اجزاء محدود یا المان محدود FEM همراه با پاسخ
جواب سوال سوم: این سوال در واقع کاربرد روش المان محدود در تحلیل تنش است. در چنین سوالاتی بردار نیروی المانی شامل پنج جزء است. نیروی المانی ناشی از تنش اولیه، کرنش اولیه، نیروی حجمی، نیروی سطحی و نیروی متمرکز است. در شکل زیر اجزاء بردار نیروی المانی نمایش داده شده است.
باید برای هر 3 المان ذکر شده در صورت سوال ماتریس سختی المانی و بردار نیروی المانی را بدست بیاوریم. سپس ماتریس سختی کلی را با اسمبل کردن محاسبه کنیم. اگر در این مباحث اشکال دارید از اساتید مهندسی مکانیک کمک بگیرید. در نهایت با اعمال شرایط مرزی و حل دستگاه معادلات بدست آمده می توانیم جابه جایی گره ها را بدست بیاوریم. در مرحله بعد تنش و کرنش برای هر المان هم بدست خواهد آمد.
مطالعه نمائید: نمونه فیلم تدریس خصوصی اجزاء محدود - حل مثال از تحلیل تنش با روش FEM
برای دانلود رایگان فایل pdf این سوالات بر روی این لینک کلیک کنید.
منبع: ایران مدرس (استفاده از مطالب و بازنشر آن با ذکر منبع و لینک به ایران مدرس مجاز است)
