در این مقاله توضیحات کاملی در رابطه با روش اجزاء محدود و آشنایی با روش المان محدود (FEM) به صورت گام به گام و به زبان ساده ارائه شده است. روش آنالیزالمان محدود یک ابزارقوی و مدرن محاسبه ای است. به منظور حل مسائل مهندسی سازه ای بسیار پیچیده خصوصا در صنعت هواپیما سازی، این روش در طول 15 سال گذشته در سراسر جهان کاربرد بسیار وسیعی داشته است.
پیشنهاد ایران مدرس: دانلود مقاله مراحل انجام يك تحليل المان محدود
FEM اکنون در زمینه های دیگری همچون آنالیز حرارتی، مکانیک سیالات و الکترومغناطیس هم مورد قبول واقع شده است. در این روش به علت وجود حجم محاسبات بالا کامپیوتر دیجیتالی مورد نیاز است. سازه ها ممکن است شکلهای بسیار پیچیده ای به خود گرفته و از مواد مختلفی استفاده کنند. اغلب یک سازه خودش متشکل از مواد مختلفی است، به همین علت روشهای تحلیلی برای حل آنها یا وجود ندارد و یا بسیار مشکل خواهد بود از این رو روشهای حل عددی مانند اجزای محدود مورد استفاده قرار می گیرد. در حال حاضر در صنعت برای انجام بسیاری از پروژه ها و در دانشگاه ها برای انجام بسیاری از کارها و پروژه های تحقیقاتی از روش اجزاء محدود و نرم افزارهای مرتبط با آن استفاده می شود. البته برای اینکه نتایج روش المان محدود مورد قبول واقع شود باید دقت و صحت آن مورد بررسی قرار گیرد.
ایده اصلی در روش المان محدود تقسیم کردن سازه، جسم و یا ناحیه تحت آنالیز به تعداد زیادی المانهای محدود و یا به صورت ساده تر المان است. این المانها ممکن است یک، دو و یا سه بعدی باشند. یک نوع کلاسیک و محبوب المان برای حالت دو بعدی همان المان مثلثی است. وقتی یک سازه دوبعدی (و یا یک دستگاه انتقال حرارت و غیره) به صدها و یا گاهی شاید هزارها عدد از این المانهای مثلثی که همپوشانی ندارند تقسیم می شود، مشاهده می شود که هر شکل هندسی صفحه ای قابل دسترسی است. گره های این نوع المان به صورت مناسبی در راسهای مثلث قرار گرفته اند. در حالت دو بعدی می توان از المان های مستطیلی هم استفاده نمود اما برای مش بندی شکل های پیچیده المان های مثلثی مناسب تر هستند. اگر هندسه خیلی پیچیده باشد باید قبل از مش زدن آن از پارتیشن بندی استفاده نمود. در یک تحلیل FEM اگر بتوانید مش زیبا و خوبی را ایجاد کنید مسلما دقت کار شما خیلی بیشتر خواهد شد. مطالعه این مقاله هم پیشنهاد می شود: آموزش روش اجزای محدود یا المان محدود به صورت پایه ای و با زبان ساده
استفاده از روش المان محدود در یک مساله نیاز به انجام یک سری مراحل خاص به صورت دقیق دارد. برای اینکه نتایج بدست آمده از یک تحلیل المان محدود مورد قبول واقع شود باید دقت و صحت آن بررسی گردد. دقت به این معنی است که باید اندازه المان ها را در چند مرحله کاهش دهیم به گونه ای که در نهایت نتایج مستقل از اندازه المان گردد. به عبارت دیگر باید همگرایی مش را بررسی نمائیم. مثلا می توان نمودار تنش روی یک مسیر مشخص را رسم نمود و با ریزتر کردن المان ها به جایی رسید که تغییری در نمودار ایجاد نشود. برای بررسی صحت تحلیل المان محدود هم باید نتایج را با یک کار تجربی یا تحلیلی و یا در بدترین حالت با یک تحلیل اجزاء محدود دیگر مقایسه نمود. اگر نتایج FEM با کار تجربی یا تحلیلی همخوانی مناسبی داشته باشد صحت آن تایید می شود و مشخص می شود که مدلسازی درست انجام شده است. به منظور انجام تحلیل اجزاء محدود الگوریتم خاصی بر روی مسئله باید پیاده شود که مراحل آن به صورت زیر می باشد:
1- المان بندی مسئله مورد نظر
در این مرحله بسته به نوع مسئله (یک بعدی، دوبعدی و یا سه بعدی) المان مناسب انتخاب شده و جسم یا ناحیه و یا سازه مورد نظر المان بندی می شود. منظور از المان بندی جسم، تقسیم کردن جسم یا ناحیه مورد نظر به تعداد محدودی قسمتهای کوچکتر است. در یک تحلیل المان محدود بیشترین وقت صرف المان بندی و مش زدن می شود چرا که به هر میزان کیفیت مش ها بیشتر باشد در نهایت دقت نتایج بدست آمده بالاتر است. در انجام تحلیل المان محدود با نرم افزارهایی مانند انسیس و آباکوس و ... مش بندی توسط خود نرم افزار انجام می شود فقط باید در موارد لزوم از پارتیشن هایی استفاده کرد تا هندسه ساده تر شود. در این مقاله تعدادی از مهمترین نرم افزارهای المان محدود مانند Agros2D، CalculiX، DIANA FEA، OpenSees، Abaqus، COMSOL Multiphysics، Nastran و .... معرفی شده و ویژگی های آنها با هم مقایسه شده است.
2- انتخاب تابع جابه جایی (متغیر میدانی) مناسب
کمیتی که می خواهیم بعد از انجام روش المان محدود FEM بر روی مسئله مقدار آن در گره ها محاسبه شده و مشخص شود، در این قسمت انتخاب می شود. به عنوان مثال در مسئله مکانیک جامدات متغیر میدانی، جابه جایی و در مکانیک سیالات، سرعت است. کمیتهای دیگری در مسئله که علاقه مند به محاسبه آنها باشیم به وسیله روابطی به متغیر میدانی مربوط شده و مقادیر آن در گره ها و از آنجا در کل جسم بدست می آیند. به عنوان مثال در مسئله مکانیک جامدات بعد از بدست آمدن جابه جایی ها در کل گره ها با استفاده از روابطی کرنش ها و تنش های مربوط به هر گره و از آنجا کل جسم را می توان بدست آورد. این مرحه آخر در واقع پس پردازش نام دارد. در مرحله پس پردازش کاربر بسته به نتیجه یا نتایجی که مد نظر دارد خروجی های مورد نظر خودش را از متغیر میدانی استخراج می کند. دقت کنید که در این مقاله الگوریتم روش المان محدود را توضیح می دهیم و وقتی با نرم افزارهای تجاری مانند انسیس کار می کنید و مثلا تحلیل استاتیکی انجام می دهید این مراحل بسته به نوع تحلیل خود به خود داخل نرم افزار انجام می شود.
3- استخراج ماتریس سختی المانی و بردار نیروی المانی
با مشخص شدن متغیر میدانی در مرحله قبل مولفه های بردار متغیر میدانی تعیین می شوند. در هر مسئله برداری به اسم بردار نیروی المانی تعریف شده که اثر نیروهای خارجی و یا محیط بر روی هر المان در آن نشان داده می شود. ماتریس سختی المانی ماتریسی است که خصوصیات مربوط به جنس جسم و همچنین نحوه توزیع نیروها بر روی گره های مربوط به هر المان را بیان می کند. در نرم افزارهای تجاری المان محدود مانند انسیس و آباکوس این مراحل توسط خود نرم افزار انجام می شود و در این مقاله جزئیات کاملی توضیح داده شده است. رشته های مهندسی مانند مهندسی مکانیک، عمران، معماری، برق، صنایع و بسیاری از رشته های دیگر با نرم افزارهای المان محدود و FEM بسیاری از کارهای تحقیقاتی خودشان را انجام می دهند. در همین سایت ایران مدرس www.IranModares.com اساتید مهندسی مکانیک و سایر رشته ها می توانند در رابطه با نحوه کار کردن با نرم افزارهای المان محدود و استفاده از این روش برای حل مسائل به شما کمک کنند.
پیشنهاد می شود رایگان دانلود نمائید: دانلود روش المان محدود
4- جمع کردن (اسمبل کردن) معادلات المانی
مسئله مورد نظر برای کل جسم تعریف شده است نه برای تک تک المانها، بنابراین یک ماتریس سختی کلی برای جسم و همچنین یک بردار نیروی المانی کلی برای آن باید تعریف شود. در این مرحله با در کنار هم قرار دادن مناسب مولفه های ماتریسهای سختی المانی ماتریس سختی المانی کلی را تشکیل داده و همچنین با چیدن مناسب مولفه های مربوط به بردارهای نیروی المانی در بردار کلی نیرو، بردار کلی نیروها حاصل می شود. اسمبل کردن هم در نرم افزارها اتوماتیک انجام می شود اما اگر کد نویسی می کنید این مرحل به دقت و تمرکز زیادی نیاز دارد.
5- اعمال شرایط مرزی
بر روی مرزهای جسم و یا ناحیه مورد نظر هر نوع شرط مرزی (ضروری و یا طبیعی) ممکن است اعمال شده باشد ولی بر روی یک مرز همزمان دو نوع شرط مرزی نمی تواند اعمال شود. به منظور بدست آوردن جوابهای درست و صحیح اثر شرایط مرزی اعمال شده بر روی جسم باید در ماتریس سختی نهایی و بردار کلی نیروها وارد شود. مثلا در مسائل مکانیک جامدات ممکن است در نقاطی از جسم جابه جائی ها صفر باشند. تیر یک سرگیرداری را در نظر بگیرید. در تیر یک سر گیردار در محل تکیه گاه آن جلوی حرکت در جهت های مختلف باید گرفته شده و دوران هم نباید در محل تکیه گاه مجاز باشد. بنابراین بسته به مسئله ای که در حال مدلسازی آن هستید باید شرایط مرزی مناسبی را تعریف کنید. شرایط مرزی روی نتایج تاثیر می گذارد و باید به درستی تعریف شود.
6- حل به منظور محاسبه متغیر میدانی مجهول
با اعمال شرایط مرزی در مرحله قبل اکنون دستگاه معادلاتی داریم که با حل آن مقادیر گرهی مجهول متغیر میدانی قابل محاسبه است. به عنوان مثال در یک مسئله مکانیک جامدات با حل دستگاه معادلات نهایی، مقادیر جا به جایی تمامی گره ها بدست می آید. تا اینجا مراحل انجام و یا اعمال روش المان محدود برای یک مسئله در حالت کلی به پایان رسید. در مورد یک مسئله مکانیک جامدات مرحله دیگری هم به منظور تکمیل حل به صورت زیر باید انجام شود. در نرم افزارهای المان محدود مانند آباکوس این مرحله با فشردن یک کلید توسط خود نرم افزار انجام می شود و کاربر در آن دخالتی ندارد. البته در نظر داشته باشید که برای استخراج نتایج درست و منطقی، کاربر باید یک دید مهندسی خوب داشته باشد و مراحل چک کردن دقت و صحت را با وسواس بالا انجام داده باشد.
پیشنهاد می کنیم مقاله تحلیل ورقها و پوسته ها از روش المان محدود را بخوانید.
7- محاسبه تنشها و کرنشهای المانی
همانطور که در بخشهای قبلی گفته شد با بدست آوردن متغیر میدانی در گره ها، کمیتهای دیگری هم که بوسیله روابطی به متغیر میدانی مربوط هستند در گره ها و از آنجا در تمامی نقاط جسم و یا ناحیه قابل محاسبه هستند. در یک مسئله مکانیک جامدات با استفاده از جابه جائیها کرنشها و سپس با در دست داشتن کرنشها، تنشها قابل محاسبه هستند. از جمله نرم افزارهای معروف و قدرتمند در زمینه المان محدود آباکوس و انسیس است. در نظر داشته باشید که استفاده از روش المان محدود برای حل مسائل پیچیده بسیار مفید است و به نسبت روش های تجربی و تحلیلی راحت تر و کم هزینه تر می باشد. البته اگر مدلسازی درست انجام نشود و به نرم افزار ورودی درستی داده نشود مسلما خروجی و نتایج هم درست نخواهد بود.
روش المان محدود به زبان ساده
همانطور که در سایت ویکی مکانیک توضیح داده شده است، المان محدود (بعضی ها هم می گویند اجزا محدود!) هم یکی از روش های عددی است که از آن می توان برای حل عددی معادلات دیفرانسیل استفاده کرد. در این روش برای ساده سازی مسئله، کل ناحیه ای که در آن باید معادلات حل بشوند، به اجزای کوچکتری تقسیم می شود که هر جزء، یک المان (Element) نام دارد. همانطور که از نام این روش هم پیداست، تعداد المان ها ممکن است زیاد باشد اما محدود (Finite) است و بی نهایت نیست. در واقع می توان المان ها را شمرد. بنابر این، نام اختصاری این روش FEM است: Finite Element Method
آن چه برای تجزیه و تحلیل عناصر محدود مورد نیاز است و برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی با روش المان محدود به کار می گیریم، تنها سه مولفه به صورت زیر است: یک نمایش گسسته از یک ناحیه، به عنوان مثال یک المان، یک معادله دیفرانسیل جزئی، شرایط مرزی که معادله را با ناحیه پیوند می دهد. برای این کار به معادلات دیفرانسیل جزئی و شرایط مرزی آن ها می پردازد (منبع: نماتک) کلیک کنید: مشاهده لیست اساتید المان محدود
ویژگی بسیار مهم روش اجزا محدود این است که در این روش می‌توانیم انواع هندسه‌های پیچیده، بارگذاری و مواد مختلف را در مسائل منظور نماییم که این حالات پیچیده در حل‌های تحلیل غیرممکن یا بسیار دشوار می‌باشد. روشهای تحلیلی در اغلب موارد نیاز به حل یک معادله دیفرانسیل جزئی یا معمولی می‌باشد که در حالت‌های پیچیده هندسه، بارگذاری و مواد معمولا قابل استفاده نیستند بنابراین برای حل این‌گونه مسائل ما نیاز به یک روش عددی مانند روش اجزا محدود داریم (منبع: گام98).
کلیک کنید: مشاهده نمونه فیلم های تدریس و آموزش المان محدود
روش المان محدود، مسئله را به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می کند. این روش، مقادیر تخمینی متغیرهای مجهول را برای تعدادی از نقاط مجزا در محدوده تعریف مسئله به دست می‌آورد. راه حل روش المان محدود، تقسیم مسائل بزرگ به بخشهای کوچکتر و ساده‌تری به نام «المانهای محدود» (Finite Elements) است. در مرحله بعد، معادلات ساده‌ای که معرف این المانهای محدود هستند، در یک دستگاه معادلات بزرگ‌تر در کنار یکدیگر قرار می‌گیرند و فرم کلی مسئله اصلی را تشکیل می‌دهند. انجام مطالعه یا تحلیل بر روی یک پدیده با استفاده از FEM، با عنوان «تحلیل المان محدود» (Finite Element Analysis) شناخته می‌شود (منبع: istasazeh-co.com)
مطالعه نمائید: 0 تا 100 حل یک مسئله فیزیک و مهندسی با روش المان محدود و اجزاء محدود
المان بندی و مش بندی در روش المان محدود
یکی از مهمترین مراحل یک تحیلیل المان محدود مش بندی است. همانطور که در سایت پینیون گفته شده است، انتخاب نوع المان و نحوه المان بندی تاثیر بسیار زیادی در نتایج بدست آمده تحلیل دارند. بطور کلی هرچقدر المانهای دو یا سه بعدی، بیشتر مربعی شکل باشند و انطباق گره های المانها بر روی المانهای مجاورشان بیشتر رعایت گردد، نتایج بهتر و دقیق تری بدست خواهد آمد. انواع المان سازه ها در اجزاء محدود: 1- میله ۲- خرپا ۳- تیر ۴- قاب
در سایت umec.ir هم توضیح داده شده است که اولین گام در حل اجزای محدود یک مسأله، گسسته‌سازی جسم و یا ناحیه به اجزای کوچکی به نام المان است. المانها می‌توانند یک‌بعدی، دو بعدی و یا سه‌بعدی باشند. این عمل را شبکه‌بندی یا Mesh Generation نیز می‌نامند. المانها توسط نقاطی به نام گره تعریف می‌گردند. با تغییر تعداد گره‌ها می‌توان المان‌هایی با مرتبه‌های مختلف به دست آورد.
حتما بخوانید: نمونه سوال امتحانی درس اجزاء محدود یا المان محدود FEM همراه با پاسخ
مراحل انجام تحلیلی المان محدود به صورت گام به گام
همانطور که در بالا توضیح داده شد و در سایت آموزش های مکادمی هم گفته شده است، اساس روش اجزاء محدود شامل مراحل زیر است:
1- گسسته‌سازی هندسه (Discretization)
2- در نظر گرفتن تابعی برای فرم کلی پاسخ در هر المان بر حسب مقادیر گره‌ای (Interpolation Function or Shape Function)
3- محاسبه ماتریسهای مشخصه (ماتریس اینرسی خطی (جرم)، ماتریس اینرسی دورانی، ماتریس دمپینگ (میرائی) و ماتریس سفتی) برای هر المان (Element Characteristics Matrix)
4- مونتاژ المانها برای ساخت ماتریسهای مشخصه کل سازه (Assemblage)
5- اعمال شرایط مرزی به دستگاه معادلات ماتریسی (Apply Boundary Conditions)
6- اعمال شرایط اولیه در مسائل دینامیک (Apply Initial Conditions)
7- حل دستگاه معادلات جبری (در مسائل استاتیک) یا حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (در مسائل دینامیک)
حتما بخوانید: آشنایی با ماژول های نرم افزار آباکوس ABAQUS برای تحلیل های مهندسی
همانطور که در صفحه روش اجزاء محدود سایت ویکی پدیا توضیح داده شده است، پرکاربردترین نرم‌افزارهای FEM به صورت زیر می باشند: آباکوس (Abaqus)، انسیس (Ansys)، اپنسیس (OpenSees)، نسترن (Nastran)، کامسول (Comsol)، ماکسول (Maxwell) (در زمینه الکترومغناطیس)، پلکسیس (PLAXIS)، دایانا (DIANA) و اف ای ام ام (FEMM) (شبیه ساز دوبعدی تحت زبان lua). کارکردن با این نرم افزارها راحت است اما برای آموزش دیدن باید زمان بگذارید. در تمامی این نرم افزارها تقریبا روند مدلسازی و تحلیل مشابه هم است فقط باید برای آموزش دیدن زمان مشخصی را در نظر بگیرید. در شکل زیر مش FEM توسط یک تحلیلگر قبل از یافتن راه حلی برای یک مسئله مغناطیسی با استفاده از نرم افزار FEM ایجاد شده است. رنگ‌ها نشان می‌دهند که تحلیلگر ویژگی‌های ماده را برای هر منطقه تنظیم کرده است. در این مورد، یک سیم پیچ سیم رسانا به رنگ نارنجی، یک جزء فرومغناطیسی (شاید آهن) به رنگ آبی روشن و هوا به رنگ خاکستری نشان داده شده است. اگرچه هندسه ممکن است ساده به نظر برسد، اما محاسبه میدان مغناطیسی برای این تنظیمات بدون نرم افزار FEM، تنها با استفاده از معادلات، بسیار چالش برانگیز است. منبع
در ادامه تعدادی از روش های مختلف المان محدود ذکر شده است.
AEM
A-FEM
Generalized finite element method
Mixed finite element method
Variable – polynomial
hpk-FEM
XFEM
Scaled boundary finite element method (SBFEM)
S-FEM
Spectral element method
Meshfree methods
Discontinuous Galerkin methods
Finite element limit analysis
Stretched grid method
Loubignac iteration
Crystal plasticity finite element method (CPFEM)
Virtual element method (VEM)
همانطور که مشاهده می کنید روش های المان محدود متعددی وجود دارد که برای کسب اطلاعات در رابطه با هر کدام از این روش ها باید در اینترنت جستجو نمائید. برای انجام پروژه های صنعتی ممکن است تحلیل المان محدود با روش معمول و با استفاده از نرم افزارهای تجاری کافی باشد اما برای انجام پروژه های سطح بالا در مقطع دکتری و یا پروژه های مهم و حساس در صنایع هوافضا و ... ممکن است سایر روش ها مورد نیاز باشد. برای اینکه تحلیل المان محدود شما نتایج درست بدهد باید دید مهندسی خوبی به نسبت مسئله مورد بررسی خودتان داشته باشید و نیروها و شرایط مرزی را به درستی انتخاب نمائید.
پیشنهاد می شود مطالعه نمائید: 20 نکته کلیدی و مهم در رابطه با روش اجزا محدود و نرم افزار آباکوس
مقایسه نرم افزارهای انسیس و آباکوس برای تحلیل المان محدود FEA
برای تحلیل المان محدود شاید، Ansys با محیط کاربرپسند بهترین است و Abaqus نیز خوب است. برای مسئله مولتی فیزیک FEA Comsol multiphysics خوب است. البته در بعضی از سایت ها در مقایسه این دو نرم افزار با هم ذکر شده است که Abaqus حرفه ای تر است و دقت آن بیشتر از Ansys می باشد. پیشنهاد می شود نتایج تحلیلی همان مسئله ای را که با استفاده از هر دو ابزار FEA حل کرده بودید، ثبت کنید. هر دو نتایج تحلیلی را با آزمایشات/محاسبات نظری مقایسه کنید. سپس ارائه یک نظر فنی بر اساس مقایسه آسان است. در رابطه با کاربری ساده تر این دو نرم افزار المان محدود، در نگاه اول، می بینید که ABAQUS رابط کاربری ساده تری دارد و نسبت به ANSYS کمتر گیج کننده است. همچنین در نگاه اول می توان فهمید که چه نوع فرآیندی را می خواهید در نرم افزار ABAQUS پیاده سازی کنید: مکانیکی، CFD یا الکترومغناطیسی. یکی از مهمترین قابلیت‌های نرم‌افزار آباکوس نسبت به سایر نرم‌افزارهای اجزای محدود موجود، امکان تغییر و اضافه کردن به امکانات و کتابخانه‌های نرم‌افزار است. قابلیتی تحت عنوان «ساب روتین» نویسی که ابزاری بسیار قدرتمند برای کاربران حرفه‌ای می‌باشد. نرم‌افزار Design Space Ansys کاملاً بر آخرین ورژن نرم‌افزارهای اصلی CAD سه بعدی که شامل پرو/اینجینیر، سالیدورکس، اینونتور، مکانیکال دسکتاپ، یونیگرافیکس، سالید اج می‌شود منطبق است. این نرم‌افزار می‌تواند از اطلاعات خروجی نرم‌افزار کتیا استفاده نموده و از فرمت‌های رایج هندسی و برداری مانند SAT و Para solid پشتیبانی نماید.
برای آشنایی با نرم افزار آباکوس مشاهده این فیلم کوتاه مفید است: فیلم آموزشی - نحوه تحلیل تنش یک قطعه با استفاده از نرم افزار آباکوس abaqus
منبع: ایران مدرس
