در این بخش در رابطه با انتگرال توابع کسری و نحوه انتگرال گیری از توابع کسری توضیحاتی ارائه می گردد. ساده ترین تابع کسری که می توان از آن انتگرال گرفت در شکل زیر نمایش داده شده است. انتگرال 1/x بر حسب Lnx بدست می آید. در کل هر انتگرال کسری ای که مشتق عبارت مخرج در صورت موجود باشد جواب آن به فرم Ln خواهد بود. در بسیاری از مواقع ممکن است با اعمال یک تغییر متغیر این حالت را ایجاد کنید. حالت دوم که در تصویر زیر نمایش داده شده است جواب آن به فرم arctanx خواهد بود.
مشاهده فهرست انتگرال ها
حالت های دیگری از انتگرال های کسری که جواب انها هم بر حسب Ln است در ادامه نمایش داده شده است. اگر خوب دقت کنید در مثال های زیر هم مشتق عبارت مخرج در صورت وجود دارد و یا با کم و زیاد کردن یک ضریب و یا با اعمال یک تغییر متغیر می توان آن را ساخت. همانطور که گفته شد جواب چنین عبارت هایی به صورت Ln خواهد بود فقط باید دقت کنید که در آخر اگر از جوابی که بدست آورده اید مشتق گرفتید عبارت زیر انتگرال بدست بیاید. پیشنهاد می شود فیلم فیلم آموزش نحوه محاسبه انواع انتگرال ها در درس ریاضی یا فیلم آموزش انتگرال گیری از درس ریاضی به زبان ساده را هم ببینید.
دانلود کل فرمولهای پایه انتگرال گیری و مشتق گیری
در ادامه مثال های بیشتری از انتگرال توابع کسری را می توانید مشاهده کنید. می توانید به عنوان تمرین سعی کنید این روابط را اثبات نمائید. در حقیقت همه ای این روابط را نمی توان به خاطر سپرد و بهترین کار این است که روش کار را یاد بگیرید. اولین و دومین فرمول از فرمول های زیر که جواب انتگرال کسری بر حسب آرکتانژانت و آرک کتانژانت می باشد اهمیت زیادی دارد. در واقع برای محاسبه بسیاری از انتگرال های کسری وقتی از تغییر متغیر مثلثاتی استفاده می کنیم به حالت های اول و دوم از فرمول های زیر می رسیم. آخرین فرمول از فرمول های زیر را هم بررسی کنید متوجه می شوید که در صورت کسر می توانید به راحتی مشتق عبارت ارائه شده در مخرج را ایجاد نمائید در نتیجه جواب بر حسب Ln خواهد بود. برای کسب اطلاعات بیشتر این فیلم را ببینید: فیلم آموزش ریاضی حل نمونه سوال امتحانی و مثال تشریحی از انتگرال توابع کسری
با توجه به مطالب ارائه شده، برای انتگرال های کسری حالت های مختلفی می توان در نظر گرفت. اگر بتوانید مشتق عبارتی که در مخرج وجود دارد را در صورت کسر بسازید یا با تغیر متغیر چنین حالتی ایجاد شود مطمئن باشید که جواب انتگرا به فرم Ln است و فقط باید ضرایب درست تعیین گردد. در بسیاری از موارد هم برای حل انتگرال های کسری از انواع تغییر متغیرها از جمله تغییر متغیر مثلثاتی می توان استفاده کرد. تعدادی از انتگرال های کسری مهم هم در ادامه ارائه شده است.
برای محاسبه برخی از انتگرال های کسری استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی می تواند بسیار مفید باشد. در این فیلم تغییر متغیر مثلثاتی برای محاسبه برخی از انتگرال های کسری توضیح داده شده است: فیلم آموزشی ریاضی - مثال تشریحی محاسبه انتگرال با تغییر متغیر مثلثاتی
منبع: ایران مدرس
