در این مقاله تعاریف پایه ای ماتریس ها، جمع و ضرب ماتریس، ماتریس متقارن و هرمیشن، تعریف دترمینان و نحوه محاسبه معکوس یک ماتریس و .... ارائه شده است.
پیشنهاد ویژه سایت ایران مدرس: دانلود جزوه کنکوری معکوس ماتریس و دستگاه معادلات خطی
تعاریف پایه ای ماتریس ها، ماتریس متقارن و Hermition
همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است، ماتریس سطری فقط یک سطر دارد و ماتریس ستونی تنها یک ستون دارد. تساوی دو ماتریس هم به صورت واضح در شکل زیر مورد بررسی قرار گرفته است. دو ماتریس وقتی با هم مساوی هستند که تعداد سطر و ستون های برابر داشته باشند و مولفه های آنها نظیر به نظیر با هم برابر باشند. نحوه بدست آوردن مجموع دو ماتریس و حاصلضرب یک عدد در یک ماتریس هم بر حسب مولفه ها در تصویر زیر نشان داده شده است. برای جمع کردن دو ماتریس با هم باید مولفه ها را نظیر به نظیر با هم جمع نمود (ابعاد دو ماتریس باید با هم برابر باشد). در سطر بعدی از تصویر زیر نحوه بدست آوردن حاصلضرب دو ماتریس را می توانید مشاهده نمائید. ماتریس متقارن ماتریسی است که مولفه های آن حول قطر اصلی با هم برابر باشند و ماتریس پاد متقارن ماتریسی است که مولفه های آن حول قطر اصلی قرینه هم باشند. در ماتریس پادمتقارن عناصر قطری برابر صفر می باشند. نکته دیگری که در شکل زیر توضیح داده شده است این است که هر ماتریس مربعی را می توان به صورت حاصلجمع یک ماتریس متقارن و یک ماتریس پادمتقارن نوشت. به عنوان نکته پایانی، در تصویر زیر تعریف ماتریس هرمیشن Hermition Matrix ارائه شده است. ماتریس هرمیشن یا هرمیتی ماتریسی است که با ترانهاده مزدوج مختلط خودش برابر است. تعریف Skew-Hermition Matrix را هم در انتهای صفحه در عکس زیر می توانید مشاهده کنید. ماتریس هرمیتی (با درایه های مختلط) یک فضای برداری ویژه حقیقی را ایجاد می کند.
مطالعه نمائید: دانلود رایگان جزوه بسیار خوب آموزش ریاضی - ماتریس و انواع ماتریس ها
نحوه محاسبه دترمینان ماتریس و نکات کلیدی و مهم دترمینان
در تصویر زیر دو نکته تکمیلی دیگر در رابطه با Hermition Matrix ارائه شده است. در ماتریس هرمیشن عناصر قطر اصلی حقیقی هستند و در Skew-Hermition Matrix عناصر قطر اصلی موهومی محض می باشند. در ادامه در تصویر زیر تعریف تبدیل خطی را هم می توانید مشاهده نمائید. در بخش بعدی سراغ تعریف دترمینان رفته ایم. برای هر ماتریس مربعی یک عدد اسکالر به عنوان دترمینان قابل محاسبه است که در شکل زیر نحوه محاسبه آن توضیح داده شده است. برای محاسبه دترمینان باید ابتدا Cofactor ها را محاسبه نمود که در تصویر زیر فرمول آن ارائه شده است. دترمینان را می توان حول سطر اول یا هر سطر و ستون دیگری بسط داد. در رابطه با دترمینان که بحث مهمی است نکات زیادی وجود دارد که بعضی از آنها را در شکل زیر می توانید مشاهده نمائید. به عنوان مثال دترمینان یک ماتریس با دترمینان ترانهاده آن برابر است (ترانهاده یک ماتریس به این ترتیب بدست می آید که جای سطر و ستون آن را با هم عوض کنیم). نکته بعدی اینکه برای بدست آوردن دترمینان یک ماتریس مثلثی کافی است عناصر روی قطر اصلی آن را در هم ضرب نمائیم (تعریف ماتریس بالا مثلثی و پایین مثلثی را بلد هستید؟). در ضمن، اگر جای دو سطر یا دو ستون ماتریس را با هم عوض کنیم، دترمینان در یک منفی ضرب می شود. عکس زیر را با دقت مورد بررسی قرار دهید. حتما ببینید: فیلم آموزشی ریاضی - تعریف ماتریس بالا مثلثی و ماتریس پایین مثلثی
حتما بخوانید: خلاصه جزوه آموزش ریاضی دانشگاهی مبحث ماتریس و نکات مهم ماتریس ها
نکات تکمیلی دترمینان ماتریس و چگونگی محاسبه معکوس ماتریس
همانطور که گفته شد، در بحث ماتریس ها دترمینان از اهمیت ویژه ای برخوردار است. توجه داشته باشید که اگر در یک ماتریس یک سطر (ستون) k برابر سطر دیگر (ستون دیگر) آن ماتریس باشد مطمئنا مقدار دترمینان ماتریس برابر صفر خواهد بود. نکته دیگر که در تبدیل ماتریس ها به ماتریس های بالا و پایین مثلثی و در حل دستگاه معادلات مفید است این است که اضافه کردن یک سطر (یا ستون) از ماتریسی به سطر دیگر (یا ستون دیگر) از آن، مقدار دترمینان ماتریس را تغییر نمی دهد. مطلب قابل توجه دیگری هم در شکل زیر توضیح داده شده است و آن هم این است که دترمینان حاصلضرب دو ماتریس با حاصلضرب دترمینان آن ها برابر است. اگر در این مباحث اشکال دارید از اساتید خصوصی ریاضی کمک بگیرید. اگر دترمینان یک ماتریس برابر صفر باشد، به آن منفرد یا singular گفته می شود و اگر دترمینان ماتریس مخالف صفر باشد به آن نامنفرد و یا Non-Singular گفته می شود. نکته پایانی که در تصویر زیر مورد بررسی قرار گرفته است نحوه بدست آوردن معکوس یک ماتریس است. ماتریس های نامنفرد معکوس دارند و باید حتما دترمینان مخالف صفر باشد تا بتوان معکوس ماتریس را بدست آورد. برای بدست آوردن معکوس ماتریس باید ترانهاده ماتریس متشکل از cofactor ها را بر دترمینان آن تقسیم نمود. برای کسب اطلاعات بیشتر شکل زیر را ببینید.
مشاهده این فیلم هم مفید است: فیلم تدریس خصوصی ریاضی - تعریف ماتریس قطری همراه با مثال
در این مقاله در رابطه با ماتریس ها نکات مختلفی ذکر شد. ماتریس ها در ریاضی عمومی 1 و 2 دانشگاه و ریاضی متوسطه هم از اهمیت بالایی برخوردار هستند. در بسیاری از علوم و دروس دیگر هم از ماتریس ها استفاده زیادی می شود. به عنوان مثال، در مقطع دانشگاه در رشته مهندسی مکانیک در دروسی مانند المان محدود و مواد مرکب (کامپوزیت ها) معادلات به صورت ماتریسی نوشته می شوند و دانشجو در صورتیکه در مباحث پایه ای ماتریس ها مانند نحوه محاسبه معکوس ماتریس اشکال داشته باشد در آن دروس هم نمی تواند عملکرد موفقی داشته باشد. بنابراین می توان نتیجه گرفت که ماتریس مبحثی نیست که صرفا مختص درس ریاضی باشد و برای دروس دیگر هم مورد نیاز خواهد بود. در نتیجه دانش آموزان و دانشجویان باید تلاش کنند این مبحث مهم را با صرف وقت و حل تمرینات زیاد به خوبی یاد بگیرند. برای کسب اطلاعات کامل در رابطه با ماتریس ها اینجا کلیک کنید.
منبع: ایران مدرس (استفاده از مطالب با ذکر منبع و لینک به ایران مدرس مجاز است)
