در این مقاله نحوه حل انتگرال دوگانه به زبان ساده و از طریق مثال ارائه شده است. انتگرال دوگانه که در درس ریاضی عمومی 2 دانشگاه معمولا مورد بررسی قرار می گیرد اهمیت زیادی دارد و در این بخش از طریق حل یک مثال به زبان ساده مورد بررسی قرار گرفته است.
اگر در زمینه انتگرال دوگانه و یا مباحث دیگر اشکال و سوال دارید از اساتید مجرب ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت استاد و معلم خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست اساتید را ببیند. مشاهده فیلم آموزشی - نحوه محاسبه انتگرال های دوگانه به زبان ساده هم پیشنهاد می شود.
انتگرال دوگانه کاربردهای زیادی دارد. حتی برای محاسبه مساحت زیر نمودار هم می توان از انتگرال دوگانه استفاده کرد هر چند که معمولا از انتگرال ساده استفاده می شود. در فیزیک عمومی 2 دانشگاهی هم در مبحث میدان های الکتریکی و .... استفاده از انتگرال دوگانه بسیار متداول است. به مثال زیر دقت کنید. در این مثال قرار است انتگرال دوگانه تابع x.sin(y) محاسبه شود. دقت کنید که چون dy قبل از dx آمده است بنابراین انتگرال داخلی تر مربوط به y است و انتگرال بیرونی مربوط به x می باشد. با توجه به شکل زیر، ابتدا x را از انتگرال داخلی تر خارج می کنیم. به هر حال انتگرال داخلی تر بر حسب y است و x برای این انتگرال مانند عدد ثابت به حساب آمده و می تواند از انتگرال خارج شود. در ادامه روی انتگرال داخلی متمرکز می شویم. انتگرال sin(y) انتگرال ساده ای است. همانطور که می دانید اگر از cos(y)- مشتق بگیریم sin(y) بدست می آید. بنابراین حاصل انتگرال sin(y) همان cos(y)- است. اگر دقت کرده باشید در این روند با X و انتگرال خارجی هیچ کاری نداریم. بعد از محاسبه انتگرال مربوط به y حد بالا و پایین را در آن جاگذاری می کنیم و حاصل انتگرال داخلی برابر 1 بدست می آید. به این ترتیب انتگرال داخلی تر محاسبه شده و فقط یک انتگرال ساده بر حسب x بدست می آید. حاصل انتگرال x هم x^2/2 است که بعد از محاسبه حد بالا و پایین هم برای آن جاگذاری شده و در نهایت حاصل انتگرال بدست می آید. مطالعه این مقاله هم مفید است: انتگرال توابع کسری
به منظور مشاهده فیلم آموزشی مرتبط با مثال بالا بر روی لینک فیلم آموزش ریاضی - نحوه محاسبه انتگرال دوگانه به زبان ساده و با حل مثال کلیک کنید. مثال ارائه شده در این بخش برای آموزش نحوه حل انتگرال دوگانه مثال خیلی راحتی بود که به زبان ساده هم توضیح داده شد. نکات زیر را در نظر بگیرید:
1- برای محاسبه انتگرال دوگانه یه هر انتگرال دیگری باید بر فرمول های انتگرال گیری مسلط باشید. در واقع برای اینکه بتوانید به راحتی انتگرال دوگانه را مورد بررسی قرار دهید و حل کنید ابتدا باید بر روابط انتگرال گیری به گونه ای مسلط باشید که بتوانید انتگرال های ساده را هم حل نمائید. نکته دیگر اینکه حین محاسبه انتگرال دوگانه وقتی در حال محاسبه انتگرال مربوط به متغیر y هستید (به عنوان مثال)، با انتگرال مربوط به متغیر x کاری نداشته باشید و x را مانند عدد ثابت در نظر بگیرید. در این زمینه مشاهده کنید: مهمترین فرمول های انتگرال گیری معین و نامعین
2- ممکن است در یک انتگرال دوگانه نیاز به تغییر متغیر داشته باشید و محاسبه انتگرال همیشه به این سادگی نباشد. در مراجع مختلف تغییر متغیر انتگرال های دوگانه توضیح داده شده است. به بیان دیگر همیشه محاسبه انتگرال های ساده و چندگانه فقط با بلد بودن فرمول های انتگرال گیری ممکن نیست. بعضا ممکن است تغییر متغیر مثلثاتی و یا انواع دیگری از تغییر متغیرها لازم باشد. شاید لازم باشد از روش جزء به جزء استفاده کنید. برای انتگرال های خیلی پیچیده از روش های عددی برای محاسبه جواب استفاده می کنند.
3- در سایت ویکی پدیا توضیحات کاملی در رابطه با انتگرال های دوگانه و 3 گانه ارائه شده است. بر روی این لینک کلیک کنید تا توضیحات و مثال های بیشتری را ببینید. در ضمن در این مقاله هم چند نمونه سوال و مثال انتگرال دوگانه همراه با جواب را می توانید مشاهده نمائید: نمونه سوال انتگرال دوگانه با جواب
منبع: ایران مدرس
