در این مقاله به صورت خلاصه در رابطه با حل تقریبی معادلات دیفرانسیل با استفاده از روش انتگرال باقیمانده های وزنی و انواع روش های باقیمانده وزنی هم چون تجمع نقطه ای و تجمع زیر بازه ای، روش ریتز، حداقل مربعات و گالرکین توضیحاتی ارائه می گردد.
پیشنهاد ویژه ایران مدرس: دانلود جزوه محاسبه تقریبی انتگرال
استفاده از روش های انتگرال باقیمانده وزنی برای بسیاری از دروس مانند معادلات دیفرانسیل، محاسبات عددی، ریاضی مهندسی و حتی درس اجزای محدود لازم است. این روش در حقیقت یک روش ریاضی برای حل کردن تقریبی معادلات دیفرانسیلی است که حل دقیق ندارند. فرض کنید معادله دیفرانسیلی به شکل کلی A(u) + f = 0 داشته باشیم. در این معادله دیفرانسیل u متغیر میدانی، A اپراتور مشتق گیر و f یک تابع دلخواه است. اگر برای این معادله دیفرانسیل جواب دقیقی وجود داشته باشد که دیگر مبحث استفاده از روش های حل تقریبی برای آن مطرح نمی شود. اما اگر حل تحلیلی و دقیقی برای آن وجود نداشته باشد می توان از روش انتگرال باقیمانده های وزنی برای حل آن استفاده نمود. برای استفاده از این روش باید طرفین این معادله را در یک تابع وزن W ضرب نمود و روی ناحیه حل مسئله از آن انتگرال گرفت. یعنی خواهیم داشت: "انتگرال (W(A(u)+f))= 0". در ادامه برای سوال یک حل تقریبی پیشنهاد می دهیم: UN=Zigma(CiQi). در این رابطه منظور از Zigma همان جمع بستن است. بنابراین جواب تقریبی را به صورت مجموع جملاتی در نظر می گیرم. Ci ها ثوابت مجهولی هستند و Qi ها توابع معلومی هستند که باید شرایط مرزی مسئله را ارضا نموده و با فیزیک مسئله سازگار باشند.
مطالعه دانلود جزوه آموزشی انتگرال گیری عددی هم مفید است.
اگر جواب تقریبی بالا را در معادله دیفرانسیل مورد بررسی قرار دهیم نتیجه صفر بدست نمی آید و بلکه یک مقدار کم بدست می آید که به آن باقیمانده یا Residual گفته می شود و با R آن را نمایش می دهیم. برای بدست آوردن تابتهای مجهول Ci در این روش باید مقدار باقیمانده در انتگرال تابع وزنی قرار داده شده و انتگرال حل شود. تعداد تابع وزنهای مورد نیاز به تعداد ثوابت انتخابی (Ci ها) بستگی دارد. اساس روش های انتگرال تابع وزنی یکی است و فقط در تابع وزنی که استفاده می کنند تفاوت دارد. در روش ریتز که جزو روش های تقریبی است تابع وزن W=1 در نظر گرفته می شود و در واقع مساحت زیر نمودار تابع وزن را برابر صفر قرار می دهیم. در روش تجمع نقطه ای تابع وزن را برابر دلتای دیراک در نظر می گیریم. در روش تجمع زیر مجموعه ای تابع وزن را به این ترتیب در نظر می گیریم که در زیر بازه هایی ان را برابر یک و در سایر بخشهای بازه آن را برابر صفر در نظر می گیرم. در روش حداقل مربعات می توان ثابت کرد که تابع وزن باید برابر A(Qi) در نظر گرفته شود. در نهایت در روش گالرکین، تابع وزن دقیقا برابر Qi در نظر گرفته خواهد شد. در تمامی این روش ها ابتدا جواب تقریبی را حدس می زنیم و در ادامه با قرار دادن باقیمانده R در انتگرال باقیمانده وزنی و برابر صفر قرار دادن آن ثوابت مجهول Ci را بدست می آوریم. روش انتگرال باقیمانده های وزنی در روش اجزا محدود هم کاربرد دارد.
مطالعه کنید: روشهای مختلف حل مسائل فیزیکی
منبع: ایران مدرس (استفاده از مطالب با ذکر منبع و لینک به ایران مدرس مجاز است).
