در این بخش خلاصه ای از درس مکانیک محیط پیوسته کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک ارائه شده است. در رابطه با اندیس دامی و آزاد، تانسورها، تغییر شکل ها، تنش و ... مطالبی در این بخش از درس محیط پیوسته ارائه شده است.
اگر در یادگیری درس مکانیک محیط پیوسته اشکال دارید از اساتید این درس کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی مکانیک محیط پیوسته کلیک کنید تا لیست اساتید را ببینید.
اندیس دامی و آزاد
بعد از عبور از فصل اول که مقدمه ای از درس هست، فصل دوم موضوع تانسورها هست که پایه ی فصل های بعدیست. در ابتدای این فصل با اندیس های دامی و آزاد آشنا میشیم. به اندیس هایی که یکبار تکرار میشوند اندیس دامی میگوییم و معنی جمع را میدهد. اندیس های آزاد هم اندیس هایی هستند که تکرار نمیشوند و معمولا نشان دهنده تعداد معادلات هستند. موضوعات دلتای کروناکر و نشان جایگشت و عملیات ها در نمادهای اندیسی، روابط هستند برای ساده سازی بیشتر معادلات به کار میروند که فرمول های آن در کتاب توضیح داده شده است.
تانسور و تبدیل خطی
در بخش بعد تانسور را تعریف میکنیم. که به هر تبدیل خطی تانسور گفته میشود که دو خاصیت خطی دارد (در کتاب) و میتوانیم به صورت یکجا در قالب یک رابطه نشان دهیم. دربخش مولفه های تانسور، نشان میدهیم همانطور که برای بردارها، مولفه های بردار به دستگاه مختصات بستگی دارد، برای تانسور هم مولفه های تانسور به دستگاه مختصات بستگی پیدا میکند. درقسمت بعد مجموع تانسور و حاصلضرب تانسور و ترانهاده تانسور و ضرب دایادیک را بررسی میکنیم و نشان میدهیم که خود آن ها نیز در واقع یک تانسور (تبدیل خطی) هستند.
مطالعه کنید: نمونه سوالات امتحان درس مکانیک محیط پیوسته - کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک
معکوس تانسور
در قسمت تانسور یکه و تانسور معکوس، نشان میدهیم که تانسوری که هر بردار به خودش منتقل کند به آن تانسور یکه (همانی) میگوییم و برای هر تانسورT اگر تانسور S وجود داشته باشد به گونه ای که ST=I باشد. آنگاه S معکوس تانسور T است. از بحث ماتریس ها میدانیم، ماتریس معکوس زمانی وجود دارد که detT برابر 0 نباشد. تانسور متعامد یا ارتگانل، تبدیل خطی است که تحت آن بردارهای منتقل شده طول و زاویه ی خودشان را حفظ میکنند. به صورت کلی دترمینان یک تانسور متعامد یا +1 است یا _1 که در کتاب اثبات شده است.
ماتریس انتقال بین دودستگاه مختصات کارتزین
در ماتریس انتقال بین دو دستگاه مختصات کارتزین نشان می دهیم که این انتقال با استفاده از یک دوران جسم صلب انجام میشود. اگر هر دو دستگاه مختصات راستگرد یا هر دو چپگرد باشند یا با استفاده از یک دوران یا یک انعکاس انجام میگیرد. بنابراین دستگاه مختصات ها رو با یک تانسور متعامد نشان میدهیم. در قانون انتقال برای مولفه های کارتزین یک بردار، نشان می دهیم که با استفاده از یک تانسور متعامد مولفه های دستگاه مختصات جدید بر حسب دستگاه مختصات قدیم و دستگاه مختصات قدیم بر حسب دستگاه مختصات جدید بدست می اید.
در تعریف تانسور با استفاده از قوانین انتقال، برای اسکالرها یا تانسورهای مرتبه صفر روابطی را داریم که قوانین تبدیل هستن و با استفاده از این قوانین سه قاعده جمع، ضرب وخارج قسمت را برای مولفه های تانسور اثبات می کنیم. در قاعده جمع نشان میدهیم تبدیل یک تبدیل خطی است و از قوانین انتقال تانسورها پیروی میکند یا به صورت مشابه اگر Tijk یا Sijk مولفه های تانسور مرتبه سوم باشند، آنگاه جمع این دو نیز مولفه های تانسور هستند. در همین راستا با استفاده از قوانین تبدیل تانسورها نشان می دهیم اگر T و S تانسور مرتبه سوم باشند مجموع آن ها هم تانسور مرتبه سوم است. در قاعده ضرب، مولفه های بردار و تانسوری دلخواهی را تعیین می کنیم و با استفاده از این مولفه ها ضرب های بسیاری را تشکیل می دهیم و از این حاصلضرب ها ثابت می کنیم که خود آنها مولفه تانسوری اند که مرتبه آن با تعداد اندیس های آزاد برابر است. با توجه به اثبات هایی که در کتاب هست متوجه میشویم که تعداد اندیس های آزاد، مرتبه تانسوری را که مولفه های آن از ضرب مولفه های تانسورها بدست می آیند، تعیین میکند. در قاعده خارج قسمت نیز نشان می دهیم اگر مولفه های برداری و تانسوری دلخواه (ai و Tij) و همچنین ai=Tijbj در هر مختصات صادق باشند، آنگاه bi مولفه های بردار خواهد بود.
حتما بخوانید: سوال امتحانی مکانیک محیط های پیوسته سال تحصیلی 98-99 کارشناسی ارشد مهندسی مکانیک
تانسور متقارن و پادمتقارن در محیط پیوسته
در قسمت تانسور متقارن و پاد متقارن، نشان می دهیم که تانسوری متقارن است که T=TT و تانسوری پادمتقارن است که T=-TT و همواره می توان هر تانسور T را به حاصل جمع یک تانسور متقارن و یک تانسور پادمتقارن تجزیه نمود. در تانسور پادمتقارن قطر اصلی صفر است و کافی است سه عدد داشته باشیم، بقیه مولفه خواهد بود. مولفه های قطری یک تانسور پادمتقارن همیشه صفر است و شش مولفه غیر قطری آن هم فقط سه مولفه مستقل است. بنابراین یک تانسور پادمتقارن دقیقا مانند یک بردار سه مولفه دارد. بنابراین برای هر تانسور پادمتقارن یک بردار متناظر با آن تعریف می کنیم که به آن دوال وکتور یا بردار دوگانه تانسور پادمتقارن می گوییم. محاسبه برداردوگانه چندین کاربرد دارد. مثلا با استفاده از آن می توان محور دوران تانسور دوران متناهی را یافت. همچنین می توان با استفاده از آن زوایای بی نهایت کوچک دوران المان های مادی تحت تغییرشکل بی نهایت کوچک را بدست آورد و برای بدست آوردن سرعت زاویه ای المان های مادی در حرکت کلی نیز استفاده میشود.
بردار ویژه و مقدار ویژه یک تانسور
دربخش بردارهای ویژه و مقادیرویژه، تانسوری به نام T رادرنظر می گیریم، اگربردارa بردار که تحت تبدیل T به یک بردار موازی خودش منطبق شود. دراین حالت a یک بردار ویژه برای تانسور و k مقدار ویژه متناظر با آن است. اگر a بردار ویژه و k مقدار ویژه متناظر با آن برای یک تانسور T باشد آنگاه هر بردار دیگری هم موازی با a یک بردار ویژه با همان مقدار ویژه است. بردار ویژه می تواند طول دلخواهی داشته باشد. دراین درس اندازه یک بردار ویژه را همیشه یک در نظر میگیریم. یک تانسور نیز ممکن است بی نهایت بردار ویژه داشته باشد که برابر یک است. البته بعضی ازتانسورها فقط در یک جهت بردار ویژه دارند. ریشه های معادله مشخصه نیز در حقیقت همان مقدار ویژه تانسوراست. (k)
کلیک کنید: مشاهده اساتید خصوصی مهندسی مکانیک
دربخش مقدارهای اصلی و جهت های اصلی برای تانسورهای متقارن حقیقی، قضیه ای مهم وجود دارد که مقادیر ویژه برای هر تانسور متقارن حقیقی همگی حقیقی هستند. بنابراین برای یک تانسور متقارن حقیقی همیشه حداقل 3 بردارویژه وجود دارد که به آنها جهت های اصلی می گوییم. همچنین مقادیر ویژه متناظر با این جهت های اصلی را مقدارهای اصلی می نامیم و نشان می دهیم همیشه سه جهت اصلی وجود دارد که دو به دو بر هم عمودند. همچنین نشان می دهیم که مقادیر اصلی یک تانسور شامل بیشترین و کمترین مقادیری است که مولفه های قطری هر ماتریس از تانسور میتواند داشته باشد.
اینورینت یا نامتغیرهای یک تانسور، I1 و I2 و I3 هستند که با استفاده از معادله مشخصه یک تانسور که یک معادله درجه سه است بدست می آید. همچنین می توانیم از تانسوری که به نسبت دستگاه مختصات منطبق بر جهت های اصلی خودش بدست می آید هم برای محاسبه نامتغیرها استفاده کنیم.
گرادیان، دیورژانس و کرل
در بخش میدان اسکالر و شیب تابع اسکالر، اگر یک تابع دلخواه با مقادیر اسکالر از بردار موقعتی دلخواه را درنظر بگیریم، برای هر موقعیت مکانی دلخواه؛ آن تابع یک اسکالر را به ما میدهد (مانند: چگالی، دما و...). به عبارت دیگر آن تابع توصیف کننده یک میدان اسکالر است. متناظر با هر میدان اسکالر یک میدان برداری وجود دارد که به آن گرادیان گفته می شود. گرادیان در هر نقطه که با بردار مکان r مشخص میشود به صورت یک بردار تعریف میشود. مشاهده کنید: نمونه فیلم تدریس مکانیک محیط پیوسته ارشد مهندسی مکانیک - گرادیان میدان برداری
هرگاه برداری در یک برداریکه ضرب داخلی شود. تصویر آن بردار، در راستای آن برداریکه بدست می آید. تصویر گرادیان در راستای بردار یکه، نرخ تغییرات در همان راستا را به ما می دهد که همان مفهوم مشتق جهت دار است. بردار گرادیان تفسیر هندسه ای ساده ای نیز دارد که نشان می دهد گرادیان یک تابع برداری است که در نقطه r بر سطح عمود است. به عبارت دیگر ضرب نقطه ای gradQ.dr وقتی مقدار بیشینه خودش را دارد که dr در همان جهت gradQ باشد. به عبارت دیگر gradQ وقتی بزرگترین مقدار خودش را دارد که dr عمود برسطح Q ثابت باشد.
مطالعه دانلود رایگان نمونه سوال امتحانی مکانیک محیط های پیوسته رشته مهندسی مکانیک مقطع ارشد هم مفید است.
در بخش میدان بردار و گرادیان میدان برداری، نشان می دهیم، اگر یک تابع بردار مقدار از موقعیت وجود داشته باشد مانند میدان جابه جایی، متناظر با میدان برداری آن یک میدان تانسوری نیز وجود دارد که یک تانسور مرتبه دوم است. و نشان می دهیم این تانسور مرتبه دوم وقتی که روی یک بردار یکه اعمال میشود برداری را به ما می دهد که نشان دهنده تغییرات V در راستای همان بردار است.
در بخش دیورژانس یک میدان برداری و دیورژانس یک میدان تانسوری، یک میدان برداری را فرض میکنیم که دیورژانس آن به صورت یک میدان اسکالر تعریف می شود که با استفاده از تریس گرادیان بدست می آید که آن را به divV نشان می دهیم.
در کرل نیز، V(r) را یک میدان برداری فرض میکنیم، کرل بردار V به صورت یک میدان برداری تعریف میشود که با استفاده از دوبرابر بردار دوگان تانسور پادمتقارن گرادیان V بدست می آید. در رابطه ای اگر برحسب گرادیان یا دیورژانس یا کرل نوشته شود به راحتی درهر سه دستگاه مختصات کارتزین، استوانه ای و کروی قابل استفاده است.
سینماتیک محیط پیوسته
فصل سوم مکانیک محیط پیوسته: سینماتیک محیط پیوسته، در بحث سینماتیک ذرات، مسیر یک ذره با یک بردار که خودش تابعی از زمان است نشان داده میشود. درمحیط پیوسته چون تعداد ذرات بینهایت است برای شناسایی هر ذره به این ترتیب عمل میکنیم که در یک زمان مرجع موقعیتی که ذره در آن قرار داشته است را به آن نسبت می دهیم. درحالت کلی مسیر حرکت هر ذره دریک محیط پیوسته میتواند با یک معادله برداری بیان شود.
مطالعه نمائید: اندیس دامی و آزاد و مبحث تانسور از درس مکانیک محیط پیوسته ارشد مهندسی مکانیک
توصیف مادی و فضایی
درقسمت توصیف مادی و فضایی، وقتی که یک محیط پیوسته درحال حرکت است دمای آن، سرعت آن و ... تغییر کند، اگر با تعقیب ذرات، دما و سرعت و....به شکل توابعی از مختصات ذرات و زمانی مشخص توصیف کنیم، توصیف مادی خواهد بود. اما اگر با مشاهده ذرات از موقعیتی ثابت، دما و سرعت و..... را به شکل توابعی از موقعیت ثابت و زمان بیان کنیم. توصیف فضایی خواهد بود. توصیف فضایی و توصیف مادی با معادلات حرکت بهم ربط پیدا میکنند. مشتق مادی، نرخ تغییرات زمانی یک کمیت، برای یک ذره مادی به عنوان مشتق مادی شناخته می شود.
شتاب ذره در یک محیط پیوسته، شتاب در واقع نرخ تغییرات سرعت هرذره است، بنابراین شتاب در واقع مشتق مادی سرعت است. اگر توصیف مادی سرعت را داشته باشیم با یک مشتق گیری ساده به نسبت زمان شتاب بدست می آید ولی اگر توصیف فضایی را به ما داده باشند کار کمی پیچیده خواهد شد.
میدان جابه جایی، بردار جابه جایی یک ذره از موقعیت اولیه آن تا موقعیت آن در زمان مشخص با یک رابطه ارائه می گردد.
تغییر شکل های خیلی کوچک و تانسور کرنش
تغییر شکل های خیلی کوچک، در بسیاری از مسائل مهم مهندسی که شامل عضوهای سازه ای یا قطعات ماشین ها هستند تغییر شکل ها تحت بارهای اعمالی خیلی کوچک است، که ما درپی یافتن تانسور توصیف کننده تغییرشکل چنین اجسامی هستیم. مثلا جسمی را درنظر میگیریم که در زمان مرجع شکل مشخصی دارد و در زمان بعدی مشخص شکل آن تغییر میکند. در کتاب نشان می دهیم که مولفه های قطری تانسور کرنش خیلی کوچک تغییر طول به طول اولیه را به ما می دهد و نشان دهنده همان کرنش عمودی است، به این ترتیب میتوان روی معنای فیزیکی مولفه های غیرقطری هم بحث کرد که نشان دهنده همان کرنش برشی هستند.
پیشنهاد می شود بخوانید: معرفی و سرفصل های مکانیک های محیط پیوسته مهندسی مکانیک طراحی کاربردی مقطع ارشد
کرنش اصلی، چون تانسور کرنش E متقارن است حداقل سه جهت دو به دو عمود برهم وجود دارد که به نسبت آن تانسور قطری میشود. این وضعیت از دیدگاه هندسی بدین معناست که المان های خطی بی نهایت کوچک واقع در راستاهای مورد نظر پس از تغییرشکل دو به دو عمود می مانند. که این راستاها را راستای اصلی می گوییم.
معادلات بقای جرم و سازگاری
معادلات بقای جرم، در صورتی که یک حجم بسیار کوچک از ماده را در حین حرکت دنبال کنیم. حجم و چگالی آن ممکن است تغییرکند ولی جرم کل آن بدون تغییر میماند.
معادلات سازگاری، وقتی که هرسه تابع جابه جایی U1 و U2 و U3 داده شده باشد براحتی میتوان 6 مولفه کرنش را در هر ناحیه ای تعیین کرد. از طرفی اگر 6 مولفه کرنش به صورت دلخواه تعیین شوند، در حالت کلی ممکن است سه تابع جابه جایی گفته شده وجود نداشته باشد که یک سری روابط را ارضا کند. اگر کرنش هایی که پیشنهاد می دهیم یا به ما داده شود توابع خطی از X1 و X2 و X3 باشند، توابع خطی در این حالت چک کردن معادلات سازگاری لازم نیست و خود به خود برقرارند.
مکانیک محیط پیوسته - تنش
فصل چهارم درس مکانیک محیط پیوسته: تنش، جسمی را در نظر میگیریم که نیروهای مختلفی به آن وارد شده است، اگر بخشی را به عنوان جسم آزاد در نظر بگیریم، بردار تنش بدست می آید. در هرنقطه از جسم تانسور تنش داریم، حال اگر از آن نقطه صفحه ای عبور کند که بردار نرمال صفحه مشخصی کوچک باشد، در آن نقطه و روی آن صفحه یک بردار تنش تعریف میشود که از یک رابطه بدست می آید. بردار تنش بدست آمده لزوما در راستای عمود بر صفحه نیست و می تواند یک مولفه در راستای بردار نرمال و یک مولفه مماس برصفحه داشته باشد.
منبع: ایران مدرس
