در این بخش چند مثال تشریحی از انتگرال دوگانه همراه با جزوه خوب کاربرد انتگرال دوگانه با فرمت pdf ارائه شده است. اگر می خواهید انتگرال دوگانه را خوب یاد بگیرید ادامه این مطلب را بخوانید.
برای دانلود رایگان جزوه کاربرد انتگرال دوگانه با فرمت pdf کلیک کنید: خلاصه جزوه ریاضی دانشگاهی - کاربردهای انتگرال دوگانه
از جمله کاربردهای انتگرال دوگانه می توان به محاسبه مساحت یک ناحیه، محاسبه مرکز سطح یک ناحیه، ممان اینرسی یک ناحیه نسبت به محورهای مختصات، مقدار متوسط یک تابع دو متغیره در یک ناحیه و ... اشاره کرد. انتگرال دوگانه در مقطع دانشگاه تدریس می شود و در بسیاری از موارد به راحتی و بدون استفاده از تغییر متغیر قابل حل کردن است. البته در مواردی هم لازم است از تغییر متغیر و یا سایر تکنیک های انتگرال گیری استفاده نمود. برای اینکه بتوانید تمرینات و مسائل مرتبط با انتگرال دوگانه و چندگانه را به راحتی حل کنید در مرحله اول باید بر فرمول های انتگرال گیری مسلط باشید و انتگرال های ساده را بتوانید حل نمائید. انتگرال های دوگانه در بسیاری از اوقات محاسبه دو انتگرال ساده پشت سر هم است. بنابراین سعی کنید روابط انتگرال گیری را خوب بلد باشید و با تکنیک های مانند تغییر متغیر و جزء به جزء و.... زیاد تمرین حل کنید. در ادامه چند مثال تشریحی از انتگرال دوگانه به زبان ساده ارائه می شود.
اگر در مبحث انتگرال دوگانه اشکال دارید از اساتید ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت معلم خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست اساتید خوب ریاضی را ببینید.
1- مثال ساده از انتگرال دوگانه
در تصویر زیر مثال ساده ای از انتگرال دوگانه ارائه شده است. ابتدا انتگرال را نسبت به متغیر y محاسبه کرده ایم. وقتی در حال محاسبه انتگرال نسبت به y هستیم باید x را مانند عدد ثابت در نظر بگیریم. مثال زیر بدون هیچ تغییر متغیری و به سادگی حل شده است.
2- مثال انتگرال دوگانه به زبان ساده
در شکل زیر هم مثال دیگری را مشاهده می کنید. این مثال هم به راحتی قابل محاسبه است. در نظر داشته باشید که چون محدوده انتگرالی که بر حسب dx است خودش متغیر می باشد آن را به عنوان انتگرال داخلی تر در نظر گرفته ایم. همیشه این نکته را مد نظر داشته باشید و در تمرینات از آن استفاده نمائید.
حتما ببینید: فیلم آموزشی - نحوه محاسبه انتگرال های دوگانه به زبان ساده
3- نمونه سوال انتگرال دوگانه
سوال ارائه شده در شکل زیر هم می تواند به عنوان نمونه سوال انتگرال دوگانه مطرح باشد. دقت کنید که چون انتگرال داخلی تر بر حسب y است، ابتدا انتگرال y را محاسبه نموده ایم و بعد از جاگذاری حد بالا و پایین نوبت به انتگرالی می رسد که بر حسب x است. این انتگرال هم مثال ساده ای به حساب می آید.
4- آموزش انتگرال 2 گانه از طریق مثال
مثال زیر هم برای یادگیری انتگرال دوگانه بسیار مفید است. سعی کنید این مثال ها را یک بار دیگر خودتان حل نمائید. در مثال زیر، چون محدوده انتگرال مربوط به dy متغیر است، آن را به عنوان انتگرال داخلی در نظر گرفته ایم. در سطر دوم از شکل زیر وقتی در حال محاسبه انتگرال بر حسب y هستیم با x مانند عدد ثابت برخورد می کنیم. دقت کنید که در سطر دوم که انتگرال بر حسب y محاسبه شده است باید در جواب بدست آمده هم حد بالا و پایین را به جای y قرار دهیم. حتما بخوانید: بهترین سایت حل انتگرال آنلاین با راه حل - معین و نامعین، ساده و دوگانه
مشاهده نمائید: فیلم آموزشی و نمونه فیلم تدریس خصوصی ریاضی - نحوه محاسبه انتگرال دوگانه از طریق حل یک مثال
5- مثال خوب انتگرال دوگانه
در شکل زیر هم مثال خوب دیگری را می توانید مشاهده کنید. دقت کنید که در این مقاله سعی شده است انتگرال دوگانه به زبان ساده آموزش داده شود و به همین دلیل مثال هایی که ارائه شده است مثال های راحتی می باشند. برای شروع کار بد نیست این مثال ها را خودتان حل نمائید.
6- انتگرال 2 گانه e تابع نمایی با مثال
در تصویر زیر می توانید یک انتگرال دوگانه که در آن تابع e وجود دارد را مشاهده نمائید. در شکل زیر بعد از آنکه انتگرال مربوط به dy را محاسبه کرده ایم، برای محاسبه انتگرال باقی مانده بر حسب x از تغییر متغیر و در ادامه از روش جزء به جزء استفاده کرده ایم. به همین دلیل است که می گوئیم باید بر فرمول های انتگرال گیری و تکنیک های انتگرال گیری مسلط باشید.
پیشنهاد می شود بخوانید: نمونه سوال انتگرال دوگانه با جواب
7- مثال انتگرال دوگانه مثلثاتی
ممکن است انتگرال دوگانه به گونه ای باشد که شامل تابع مثلثاتی، سینوس، کسینوس و ... باشد. به مثال زیر دقت کنید. برای اینکه بتوانیم انتگرال را به راحتی محاسبه کنیم جای انتگرال ها را تغییر داده ایم و همچنین محدوده انتگرال گیری را به گونه دیگری بازنویسی کرده ایم. سعی کنید ناحیه انتگرال را رسم کنید و درستی رابطه زیر را نشان دهید. انتگرال دوگانه مثلثاتی زیر می تواند مثال خوبی برای نمونه سوال امتحانی باشد. در کل انتگرال مثلثاتی بسیار زیاد مورد سوال قرار می گیرد.
اساتید تدریس خصوصی ریاضی عمومی 1 و 2 دانشگاه می توانند در یادگیری این مباحث به شما کمک کنند. مطالعه کنید: نحوه حل انتگرال دوگانه به زبان ساده و از طریق مثال
منبع: ایران مدرس
