در این بخش در رابطه با فرمول ممان اینرسی دایره و نیم دایره همراه با مثال و فیلم آموزشی توضیح داده می شود. ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح برای دایره و نیم دایره و سایر شکل های متداول در کتاب های مرجع هم ارائه شده است.
پیشنهاد ویژه سایت ایران مدرس: ممان اینرسی چیست و فرمول ممان اینرسی شکل های معروف به زبان ساده
ابتدا کمی در رابطه با ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح و مفهوم آن توضیحاتی را ارائه می کنیم و در مرحله بعد فرمول ممان اینرسی دایره و نیم دایره همراه با مثال ارائه می شود. ممان اینرسی به سطح شکل مورد نظر و نحوه پراکندگی سطح بستگی دارد. به عبارت دیگر به هر میزان مساحت یک دایره بزرگتر باشد ممان اینرسی آن هم بیشتر خواهد بود. البته ممان اینرسی فقط به مساحت بستگی ندارد بلکه به نحوه توزیع یا پراکندگی سطح هم به نسبت محوری که در حال محاسبه گشتاور دوم سطح حول آن هستیم هم بستگی دارد. به هر میزان نقاط روی سطح مورد بررسی از محوری که در حال محاسبه ممان اینرسی حول آن هستیم دورتر باشند، ممان اینرسی آن شکل به نسبت آن محور بزرگتر است. برای محاسبه ممان اینرسی دایره و نیم دایره و یا هر شکل دیگری فرمول هایی وجود دارد که در مقاله معرفی شده در بالا و یا در مقاله آموزش ممان اینرسی و گشتاور دوم سطح به زبان ساده این فرمول ها ارائه شده است. در واقع برای محاسبه ممان اینرسی باید یک انتگرال دوگانه و یا ساده حل شود. برای دایره هم می توان فرمول گشتاور سطح را اثبات کرد هر چند که در اکثر مسائل به فرمول نهایی آن نیاز داریم. برای دایره چون حداقل یک محور تقارن دارد (در واقع دایره بی نهایت محور تقارن دارد) ممان اینرسی حاصلضرب، یعنی Ixy، برابر صفر است و همچنین Ix=Iy می باشد. برای نیم دایره هم ممان اینرسی حاصلضرب صفر است.
پیشنهاد می شود این فیلم آموزشی را ببینید: نمونه فیلم تدریس خصوصی استاتیک - ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح
فرمول ممان اینرسی دایره
در شکل زیر فرمول ممان اینرسی دایره قابل مشاهده است. با توجه به شکل زیر داریم Jo=Ix+Iy. در این رابطه Jo ممان اینرسی قطبی نام دارد. همانطور که گفته شد، برای دایره داریم Ix=Iy. در نتیجه داریم: Jo=2Ix=2Iy. در رابطه زیر R شعاع داریه است. به عنوان مثال اگر داشته باشیم R=10cm انگاه داریم Ix=0.25*3.14*(10)^4 که نتیجه حدودا برابر 7850 (با واحد سانتیمتر به توان 4) خواهد شد.
مطالعه کنید: دانلود جزوه استاتیک: ممان اینرسی
فرمول ممان اینرسی نیم دایره
در تصویر زیر فرمول ممان اینرسی نیم دایره ارائه شده است. همانطور که مشاهده می کنید گشتاور دوم سطح برای نیم دایره نصف دایره است. برای نیم دایره هم داریم Ix=Iy و Jo=2Ix=2Iy. در ضمنف برای نیم دایره هم ممان اینرسی حاصلضرب Ixy برابر صفر است.
حتما بخوانید: فرمول ممان اینرسی نسبت به محور، ممان اینرسی حاصلضرب و ممان اینرسی قطبی
فرمول ممان اینرسی ربع دایره
در شکل زیر هم گشتاور دوم سطح را برای ربع دایره حول محورهای x و y و همچنین ممان اینرسی قطبی حول مرکز دایره یعنی نقطه O می توانید مشاهده کنید. در بالای همین مقاله فیلم های آموزشی خوبی در زمینه ممان اینرسی ارائه شده است. اگر در این مبحث اشکال دارید اساتید استاتیک می توانند به شما کمک کنند.
منبع: ایران مدرس
