در این مقاله در رابطه با تعریف ممان اینرسی به زبان ساده و پاسخ به سوال ممان اینرسی چیست توضیحاتی ارائه می گردد. در ضمن فرمول ممان اینرسی شکل های معروف مانند ممان اینرسی دایره، مستطیل، نیم دایره، استوانه، تیر، میله، مربع و ممان اینرسی جرم یا جرمی هم در ادامه توضیح داده می شود.
پیشنهاد ویژه سایت ایران مدرس: آموزش ممان اینرسی و گشتاور دوم سطح به زبان ساده
ابتدا سعی می کنیم به سوال (ممان اینرسی چیست) به بیان ساده پاسخ دهیم. ممان اینرسی می تواند به صورت سطحی و یا جرمی تعریف شود. در صفحه ممان اینرسی ویکی پدیا آمده است: گشتاور دوم سطح خاصیتی از یک مقطع است که با بهره‌گیری از آن می‌توان رفتار یک تیر را در برابر خمش و تغییر شکل حول محورهای آن بدست آورد. میزان تنش و تغییر شکل خمشی یک تیر هم به میزان بار وارده و هم به شکل هندسی مقطع مورد نظر بستگی دارد، هر چه ممان اینرسی یک مقطع بیشتر باشد میزان تنش و تغییر شکل خمشی آن مقطع کمتر است، به همین دلیل است که تیرهایی با ممان اینرسی بزرگتر، مانند مقاطع I شکل، در ساختمان‌ها استفاده می‌شوند. در واقع چون مبحث ممان اینرسی در درس مقاومت مصالح و مقاومت سازه ها و فرمول تنش کاربرد زیادی دارد در ویکی پدیا این توضیح را به این شکل ارائه کرده است.
ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح در واقع تعریف مشخصی دارد و با انتگرال گیری محاسبه می شود. ممان اینرسی سطحی در واقع نحوه توزیع سطح حول یک محور یا یک نقطه مشخص را نشان می دهد. ممان اینرسی جرم یا جرمی هم نحوه توزیع یا پراکندگی جرم حول یک محور یا نقطه مشخص را نشان می دهد. در واقع ممکن است دو سطح با هم برابر باشند ولی نحوه توزیع آنها حول یک محور یا یک نقطه با هم یکی نبوده و در نتیجه ممان اینرسی یکسانی نداشته باشند.
مشاهده کنید: فیلم نمونه تدریس خصوصی درس استاتیک و ایستایی - مبحث ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح
ممان دوم سطح در جداول اشتال و در برخی کتاب ها با J و در برخی با I نمایش داده می‌شود، واحد آن طول به توان چهار است و دیمانسیون آن [L4] است. اگر ابعاد و اندازه شکلی که به شما داده شده است بر حسب متر باشد واحد ممان اینرسی (متر به توان 4) است. در شکل زیر فرمول های مهم و اولیه برای محاسبه ممان اینرسی داده شده است. ممان اینرسی حول محور x و حول محور y معمولا مهم تر است و ممان اینرسی حاصلضرب Ixy اگر شکل 1 یا 2 محور تقارن داشته باشد صفر خواهد شد. ممان اینرسی قطبی هم حول یک نقطه محاسبه می شود. برای استفاده از فرمول های ارائه شده در شکل زیر ابتدا باید یک المان سطح در نظر بگیرید و بعد روابط را بنویسید.
ممان اینرسی قطبی، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است برابر است با مجموع ممان اینرسی حول محورهای x و y. مهمترین بخش در محاسبه ممان اینرسی این است که المان سطح را درست در نظر بگیرید. باید یک فرمول مناسب برای المان سطح بدست بیاورید و در انتگرال جاگذاری نمائید و در نهایت حاصل انتگرال را محاسبه کنید. معلم های ریاضی در آموزش انتگرال می توانند به شما کمک کنند. گشتاور دوم سطح در محاسبه تنش ناشی از گشتاور خمشی و در درس های مکانیک سیالات 1 و 2 و ... بسیار کاربرد دارد. در مباحث دینامیک بیشتر از ممان اینرسی جرمی استفاده می شود.
حتما بخوانید: فرمول ممان اینرسی نسبت به محور، ممان اینرسی حاصلضرب و ممان اینرسی قطبی
با توجه به شکل بالا برای محاسبه ممان اینرسی حاصلضرب یا ممان اینرسی Ixy هم فرمول و رابطه ای وجود دارد که باید مورد استفاده قرار گیرد. در همین سایت ایران مدرس جزوه آموزشی برای محاسبه ممان اینرسی با فرمت pdf به زبان ساده هم ارائه شده است. شاید این سوال برای شما پیش بیاید که گشتاور دوم سطح یا ممان اینرسی به چه عواملی بستگی دارد؟ اگر ممان اینرسی سطح مد نظر است به مساحت سطح مورد نظر و نحوه توزیع آن بستگی دارد. به عبارت دیگر به هر میزان مساحت سطح بیشتر باشد و یا فاصله نقاط روی سطح از محور یا نقطه مورد نظر دورتر باشد، در نهایت ممان اینرسی شکل بیشتر خواهد بود. برای محاسبه ممان اینرسی یک شکل مرکب که از شکل های ساده تر درست شده است حول یک محور دلخواه لازم است از قضیه محورهای موازی استفاده شود. یعنی هم باید ممان اینرسی شکل های متداول مانند مثلث، دایره، نیم دایره، مربع و مستطیل را بلد باشید و هم اینکه قضیه محورهای موازی را یاد گرفته باشید. مدرسین و اساتید استاتیک معمولا بر این بحث مسلط هستند و می توانید از این اساتید کمک بگیرید (مشاهده لیست مدرسین تدریس خصوصی استاتیک). در ادامه گشتاور دوم سطح را برای تعدادی از شکل های متداول، معروف و پرکاربرد ارائه می کنیم.
مطالعه نمائید: دانلود جزوه استاتیک: ممان اینرسی
در شکل زیر ممان اینرسی مثلث حول محورهای مرکزی و غیر مرکزی و ممان اینرسی Ixy هم برای مثلث نشان داده شده است. چون شکل زیر حول محور x یا y متقارن نیست ممان اینرسی حاصلضرب آن صفر نشده است. فرمول های زیر قابل اثبات هستند.
گشتاور دوم سطح برای دایره، نیم دایره و ربع دایره در شکل زیر ارائه شده است. فرمول های زیر بسیار مهم هستند و باید به خاطر سپرده شوند.
ممان اینرسی مستطیل حول محور مرکزی و کناری آن در شکل زیر قابل مشاهده است. برای مربع هم فرمول ها همین است فقط b و h با هم برابر خواهند شد.
برای استوانه معمولا ممان اینرسی جرمی مطرح است و در تصویر زیر حالت های مختلف فرمول ممان اینرسی استوانه حول محورهای مختلف را می بینید. در درس دینامیک بیشتر از این فرمول ها استفاده می شود.
کلیک کنید: مشاهده اساتید خصوصی دینامیک
مقطع I شکل برای یک تیر در شکل زیر نشان داده شده است. برای محاسبه ممان اینرسی تیر باید از فرمول ممان اینرسی مستطیل که در بالا گفته شد و همچنین از قضیه محورهای موازی استفاده نمائید. در همین سایت ایران مدرس در رابطه با قضیه محورهای موازی مطالب آموزشی ارائه شده است.
این فیلم را ببینید: فیلم نمونه تدریس استاتیک - قضیه محورهای موازی برای محاسبه ممان اینرسی حول محور غیر مرکزی
برای شکل های متداول و پرکاربرد ممان اینرسی جرمی در تصویر زیر قابل مشاهده است. فرمول های زیر کاربرد زیادی دارند و خوب است که حفظ باشید.
در تصویر بالا می توانید ممان اینرسی میله حول محور مرکزی و انتهایی را هم ببینید.
مطالعه کنید: جزوه آموزش استاتیک مبحث ممان اینرسی با حل مثال تشریحی
منبع: ایران مدرس
