در این مقاله در رابطه با نحوه محاسبه مشتق توابع کسری و مشتق دوم توابع کسری با مثال و جواب تشریحی توضیح داده می شود. اگر می خواهید مشتق یک تابع کسری را محاسبه نمائید، در این صورت مطالعه این مقاله برای شما مفید است.
اگر در مبحث مشتق اول و دوم توابع کسری و یا مشتق به صورت کلی و یا هر مبحث دیگری از درس ریاضی اشکال دارید از مدرسین مجرب ریاضی خانم و آقا کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین را ببینید. مطالعه چگونه مشتق بگیریم هم توصیه می شود.
فرمول کلی برای محاسبه مشتق توابع کسری
در تصویر زیر اصلی ترین و مهمترین فرمولی که برای محاسبه مشتق توابع کسری وجود دارد ارائه شده است. با توجه به تصویر زیر واضح است که اگر بخواهید از یک تابع کسری مشتق بگیرید، در مرحله اول باید از صورت مشتق بگیرید و در مخرج ضرب نمائید و در ادامه از مخرج مشتق بگیرید و در صورت ضرب کنید و این دو عبارت را از هم کم کنید. بنابراین مشتق یک تابع کسری خودش یک کسر خواهد شد و صورت این کسر به صورتی که توضیح داده شد بدست می آید (به تصویر زیر توجه نمائید). در مخرج مشتق هم همان عبارتی که در مخرج تابع اصلی قرار دارد را با توان دوم آن قرار می دهیم. بنابراین به صورت خلاصه می توان گفت که مشتق یک تابع کسری به این ترتیب محاسبه می شود: مشتق صورت در مخرج منهای مشتق مخرج در صورت تقسیم بر مخرج به توان دو. اگر مشتق دوم تابع کسری هم مد نظر باشد، همین روش را روی تابع بدست آمده برای مشتق اول اعمال می نمائیم. در ادامه مثال هایی در این زمینه ارائه می شود.
مطالعه نمائید: دانلود رایگان بهترین جزوه ها و مقالات آموزشی ریاضی مبحث مشتق و مشتق گیری
مثال 1 از مبحث مشتق اول و دوم توابع کسری (شامل تابع مثلثاتی و نمایی e)
با مثال زیر دقت کنید که در آن یک تابع کسری داده شده است و مشتق اول و دوم آن محاسبه شده است. در صورت کسر تابع اصلی sin(x)+x قرار دارد و در مخرج آن هم یک تابع نمایی e^x ارائه شده است. طبق فرمولی که در بالا گفته شد مشتق صورت که برابر cos(x)+1 می شود را بدست آورده و در مخرج ضرب کرده ایم و در ادامه هم مشتق مخرج کسر را بدست آورده و در صورت ضرب نموده و این دو عبارت را از هم کم نموده ایم. در نهایت مخرج را به توان دو رسانده ایم. در مرحله پایانی e^x از صورت و مخرج با هم ساده شده است. برای مشتق دوم این تابع کسری هم همان طور که در شکل زیر قابل مشاهده است، همین روند را بر روی تابع بدست آمده برای مشتق اول اعمال کرده ایم. سعی کنید به عنوان تمرین خودتان مشتق دوم را محاسبه کنید. در نظر داشته باشید که اگر بخواهید مشتق توابع کسری را محاسبه کنید باید بر فرمول های مشتق گیری مسلط باشید. در این زمینه مطالعه مهمترین فرمول های مشتق با مثال مفید است.
حتما ببینید: فیلم آموزشی و نمونه تدریس ریاضی - نحوه محاسبه مشتق تابع Ln از طریق حل مثال
مثال 2 از مبحث مشتق تابع کسری رادیکالی (شامل رادیکال و Ln)
در ادامه مثال دیگری برای این مبحث ارائه شده است. البته برای این مثال فقط مشتق اول را بدست آورده ایم و مشتق دوم محاسبه نشده است. همانطور که گفته شد بدست آوردن مشتق دوم تابع کسری هم کاری ندارد و همان روند مشتق اول مورد استفاده قرار می گیرد. در مثال زیر صورت کسر شامل تابع Ln (3x) و مخرج کسر شامل تابع رادیکالی است. باز هم باید مشتق صورت را بدست آورده در مخرج ضرب کنید و مشتق مخرج را هم در صورت و این دو عبارت بدست آمده را از هم کم کنید. در مخرج کسر تابع مشتق هم همان مخرج تابع اصلی را به توان 2 برسانید. جواب نهایی در تصویر زیر ارائه شده است. حتما خودتان تایید می کنید که برای بدست آوردن جواب این سوال هم لازم بود بر فرمول های مشتق (مشتق Ln و مشتق رادیکالی) مسلط باشید. بنابراین روابط مشتق گیری را به خوبی آموزش ببینید.
مطالعه مشتق رادیکالی با مثال و مشتق رادیکال های تو در تو هم مفید است.
در این مقاله در رابطه با مشتق اول و مشتق دوم توابع کسری و چگونگی محاسبه آن از طریق مثال توضیح داده شد. یک فرمول و رابطه کلی برای محاسبه مشتق این توابع وجود دارد که در بالا ارائه شد. مثال ها را با دقت بررسی کنید و سعی کنید خودتان جواب را بدست بیاورید. مطالعه این مقاله هم مفید است: انتگرال توابع کسری
منبع: ایران مدرس
