در این مقاله حل انتگرال و انتگرال گیری به روش تغییر متغیر همراه با مثال تشریحی و فیلم آموزش انتگرال ارائه شده است. یکی از پرکاربردترین روش ها و تکنیک های انتگرال گیری برای انتگرال های معین و نامعین روش تغییر متغیر است. این روش مهم و پرکاربرد در این مقاله توضیح داده شده است.
اگر در زمینه بحث انتگرال گیری اشکال دارید از مدرسین ریاضی کمک بگیرید. بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید تا لیست مدرسین ریاضی را ببینید. فیلم آموزشی - نحوه استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی برای محاسبه انتگرال رادیکالی هم مفید است.
مثال اول از انتگرال گیری به روش تغییر متغیر برای تابع چند جمله ای
حل انتگرال با روش تغییر متغیر بسیار متداول است. بسیاری از انتگرال های سخت و پیچیده را می توان با تغییر متغیر به انتگرال ساده تری تبدیل کرد. بنابراین تغییر متغیر مستقیم جواب انتگرال را به ما نمی هد بلکه انتگرال داده شده را به انتگرال ساده تری تبدیل می نماید. اگر انتگرال معین است، حین تغییر متغیر باید محدوده انتگرال گیری را هم بر حسب متغیر جدید و به درستی بیان کنیم. در ادامه مثال های زیادی از حل انتگرال با روش تغییر متغیر ارائه شده است. به مثال ارائه شده در تصویر زیر دقت کنید. یک چند جمله ای داده شده است تا از آن انتگرال بگیریم. با تغییر متغیر u=2x^3+1 و در ادامه با بدست آوردن du=6x^2dx و جاگذاری این مقادیر در انتگرال، نهایتا انتگرال به فرم ساده تری تبدیل شده است. همانطور که در سطر سوم مشاهده می کنید، انتگرال به انتگرال راحتی تبدیل شده است. نکته ای که در روش تغییر متغیر باید در نظر داشته باشید این است که بعد از بدست آوردن جواب انتگرال، باید به جای متغیر جدید که در مثال زیر U است بر حسب متغیر اولیه دوباره جاگذاری را انجام دهید. مثال زیر یک مثال ساده و خوب از روش تغییر متغیر برای بدست آوردن پاسخ انتگرال ها است. با دقت مثال را بررسی کنید.
پیشنهاد می شود مشاهده نمائید: فیلم نمونه تدریس خصوصی ریاضی - حل مثال تشریحی از مبحث انتگرال گیری و روش تغییر متغیر
مثال دوم از انتگرال تغییر متغیر برای محاسبه انتگرال یک تابع مثلثاتی
در مثال زیر قصد داریم از یک تابع که در واقع حاصلضرب یک چند جمله ای و یک تابع مثلثاتی است انتگرال بگیریم. به صورت کلی محاسبه انتگرال توابع مثلثاتی بسیار زیاد مورد سوال قرار می گیرد. در مثال زیر عبارت داخل کسینوس را برابر u قرار می دهیم. اینکه چگونه تغییر متغیر را اعمال کنید و چه بخشی از تابع داده شده را به عنوان متغیر جدید در نظر بگیرید به تمرین نیاز دارد و بعضا باید با سعی و خطا پیش بروید. در این مثال عبارتی که از آن کسینوس گرفته شده است را برای متغیر جدید در نظر گرفته ایم و با اعمال آن به انتگرال می بینید که انتگرال ساده ای فقط بر حسب کسینوس بدست آمده است. دقت کنید محدوده انتگرال گیری را هم باید بر حسب متغیر جدید بنویسید. به عنوان مثال حد پایین انتگرال اولیه x=0 است و وقتی در عبارت u=x^2+1 به جای x عدد صفر را قرار می دهیم حد پایین انتگرال بر حسب u بدست می آید. برای حد بالا هم باید این کار را انجام دهید. چون در نهایت وقتی پاسخ انتگرال بر حسب U بدست می آید باید حد بالا و پایین هم بر حسب u در آن جاگذاری شود. البته این مبحث حد بالا و پایین در انتگرال های معین مطرح می شود و در انتگرال نامعین وقتی از روش تغییر متغیر استفاده می کنیم این موارد اصلا مطرح نیست.
ویدیوی آموزش ریاضی - آموزش انتگرال به کمک تغییر متغیر و فیلم آموزشی ریاضی - مثال تشریحی محاسبه انتگرال با تغییر متغیر مثلثاتی را ببینید.
مثال سوم - حل انتگرال رادیکالی با استفاده از روش تغییر متغیر مثلثاتی
استفاده از روش تغییر متغیر مثلثاتی برای حل انتگرال های رادیکالی بسیار متداول است. به مثال زیر دقت کنید. در مثال زیر از تغییر متغیر مثلثاتی x=sinu استفاده شده است. البته در این روش حتما باید بر روابط مثلثاتی هم مسلط باشید. همانطور که مشاهده می کنید، در مثال زیر، با اعمال تغییر متغیر در نظر گرفته شده و با استفاده از روابط مثلثاتی نهایتا انتگرال حذف شده است و به راحتی انتگرال محاسبه شده است. توجه کنید که چون انتگرال معین است حد پایین و بالا بر حسب متغیر جدید بازنویسی شده است. همانطور که گفته شد، برای استفاده از تغییر متغیر مثلثاتی لازم است تا حد خوبی بر روابط مثلثاتی هم مسلط باشید.
مطالعه نمائید: آموزش انتگرال تغییر متغیر های مثلثاتی به زبان ساده همراه با مثال تشریحی
مثال چهارم - محاسبه انتگرال مثلثاتی tanx با روش تغییر متغیر
علاوه بر اینکه از تغییر متغیرهای مثلثاتی برای محاسبه انواع انتگرال ها می توان استفاده کرد، از انواع تغییر متغیرهای دیگر هم برای محاسبه انتگرال های مثلثاتی می توان استفاده نمود. به مثال زیر دقت کنید. انتگرال تانژانت با استفاده از یک تغییر متغیر ساده به فرم بسیار قابل حل تری تبدیل شده است و جواب نهایی آن به فرم Ln خواهد شد. چون انتگرال نامعین است دیگر بحث حد بالا و پایین مطرح نیست.
مطالعه خلاصه جزوه آموزش ریاضی - محاسبه انتگرال های خاص با تغییر متغیرهای مثلثاتی با مثال تشریحی و خلاصه جزوه آموزش ریاضی - انتگرال گیری به روش تغییر متغیر و جزء به جزء با حل مثال تشریحی هم مفید است.
در این مقاله حل انتگرال و انتگرال گیری به روش تغییر متغیر با مثال تشریحی و فیلم توضیح داده شد. این روش در محاسبه انتگرال ها بسیار مفید و موثر است و تقریبا می توان گفت یکی از پرکاربردترین روش ها می باشد. برای اینکه برای هر سوالی که به شما داده می شود بدانید چگونه از این روش استفاده کنید باید تمرینات متعددی را حل نمائید. دقت کنید که برای استفاده از روش تغییر متغیر حتما باید ابتدا بر فرمول های انتگرال گیری مسلط باشید. در ضمن، حل هر انتگرالی با روش تغییر متغیر انجام نمی شود و برخی از انتگرال ها با این روش قابل حل است. البته یکی از پرکاربردترین راهکارها و روش ها برای محاسبه انتگرال همین تغییر متغیر است. اگر این روش به درستی استفاده شود انتظار می رود انتگرالی که بعد از تغییر متغیر بدست می آید به نسبت انتگرال اولیه که در صورت سوال به شما داده شده بود ساده تر باشد و به راحتی حل شود.
منبع: ایران مدرس
