آموزش ریاضی - حالت های مختلف هم نهشتی و تشابه مثلث ها به زبان ساده

در این مقاله آموزش ریاضی در رابطه با حالت های مختلف هم نهشتی و تشابه مثلث ها به زبان ساده توضیحاتی ارائه شده است. هم نهشتی مثلث ها در ریاضی هفتم و هشتم و تشابه مثلث ها در ریاضی نهم مورد بررسی قرار می گیرد. برای کسب اطلاعات بیشتر ادامه این مقاله را بخوانید.

به منظور مشاهده لیست مدرسین ریاضی بر روی عبارت تدریس خصوصی ریاضی کلیک کنید.

هم نهشتی مثلث ها از ریاضی هفتم و هشتم

در این بخش در رابطه با هم نهشتی مثلث ها از ریاضی هفتم و هشتم توضیحاتی ارائه شده است. اگر در این مباحث اشکال دارید از مدرسین ریاضی هفتم و یا معلم های خصوصی ریاضی هشتم کمک بگیرید.

در هندسه دو شکل هم‌نهشت هستند اگر بتوان با یک تبدیل (ترکیبی از انتقال، دوران و بازتاب) آن‌ها را برهم منطبق کرد؛ به عبارت دیگر، در دو شکل، تمامی زوایا و اضلاع نظیر هم برابر باشند. اگر دو شکل همنهشت باشند، تمام اجزای آن‌ها نیز هم نهشت (برابر، مساوی) هستند. پیشنهاد می شود این جزوه خوب را هم بخوانید: دانلود رایگان جزوه خلاصه شده فصل 6 ششم ریاضی پایه هشتم - ریاضی 8 - مثلث

حالت‌های همنهشتی مثلث ها به بیان ساده

1- دو زاویه و ضلع میانی (ز. ض. ز): دو مثلث هم‌نهشت اند اگر اندازه یک ضلع یکی از آنها برابر اندازه ضلع نظیرش از مثلث دیگر و دو زاویه آنها برابر دو زاویه نظیرشان از مثلث دیگر باشد.

2- دو ضلع و زاویهٔ میانی (ض. ز. ض): دو مثلث هم‌نهشت اند اگر اندازه ی‌ دو ضلع یک مثلث برابر اندازه ضلع‌های نظیرشان از مثلث دیگر و زاویه‌های بین این ضلعها برابر باشند.

3- سه ضلع (ض. ض. ض): دو مثلث هم‌نهشت اند اگر طول‌های سه ضلع از یک مثلث برابر طول ضلع‌های نظیرشان از مثلث دیگری باشند. این فیلم خوب را هم ببینید: فیلم آموزش خصوصی ریاضی پایه 8 - حالت اول از هم نهشتی مثلث ها با مثال (ض ض ض)

هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

اگر مثلث قائم الزاویه باشد دو حالت دیگر اضافه می‌شود: (این دو حالت فقط در حالتی صدق می کنند که مثلث مورد نظر قائم الزاویه باشد.)

الف- وتر و زاویه تند (وز): اگر وتر و یک زاویه تند از یک مثلث قائم الزاویه با وتر و یک زاویه تند از مثلث قائم الزاویه دیگری با هم برابر باشند، آنگاه دو مثلث قائم الزاویه هم نهشت هستند.

ب- وتر و ضلع قائمه (وض): اگر وتر و یک ضلع قائمه از یک مثلث قائم الزاویه با وتر و یک ضلع قائمه از مثلث قائم الزاویه دیگری با هم برابر باشند، آنگاه دو مثلث قائم الزاویه هم نهشت هستند. توجه کنید که در مثلث قائم الزاویه به ضلع رو به روی زاویه 90 درجه وتر گفته می شود. این فیلم خوب را هم ببینید: فیلم آموزش ریاضی نهم فصل سوم - هم نهشتی مثلث ها

ویژگی مثلث ها و شکل‌های هم‌نهشت

مثلث ها و شکل های هم نهشت به صورت کلی ویژگی هایی دارند که در ادامه توضیح داده می شود. اجزای متناظر دو شکل همنهشت کاملاً با هم برابر هستند. (زاویه ها و ضلعهای متناظر با هم برابرند)

نکته: می توان شکلها را به کمک تبدیلهای هندسی برهم منطبق کرد و پوشاند.

نکته: تمام شکل های همنهشت را می توان با کمک دو تبدیل هندسی دوران و انتقال بر هم منطبق کرد.

در شکل زیر، دو مثلث را میبینیم که زوایا و ضلعهای برابری دارند. پس ویژگی اصلی این است که اندازه زاویه ها و ضلع ها با هم برابر باشند. منبع

نتایج مثلث های هم نهشت

با استفاده از مثلث های هم نهشت می توان قضایای زیادی را اثبات نمود. دو نکته را می توان با استفاده از مثلث های همنهشت فهمید. 1- هر نقطه روی عمودمُنَصّف یک پاره خط از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است. 2- هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است. این موادر را با استفاده از هم نهشتی مثلث ها می توان اثبات نمود. این فیلم را هم ببینید: ویدئوی آموزشی ریاضی هشتم - مثال محاسبه مجهول با هم نهشتی مثلث ها

همانطور که در سایت roshd.ir هم توضیح داده شده است، شکلهای مسطح را هم نهشت گویند اگر همریخت و هم اندازه باشند. شکلهای همنهشت را میتوان با تبدیلی که نقاط را حرکت میدهد ، اما رابطه های برخوردی "incidence" (بین نقاط و خطوط)، زوایای بین خطوط، و طولهای پاره خطها را تغییر نمی دهد، بر هم منطبق کرد. چنین تبدیلی سطحها را حفظ میکند و خطوط موازی را موازی جابجا میکند.

اگر شکلهای همنهشت دارای جهت یکسان ( نسبت به جهت ثابتی از صفحه) باشند، آنها را میتوان با استفاده از دنباله ای از انتقالها و دوران های صفحه به هم تبدیل کرد. چنین شکلهایی را مستقیم-هم نهشت " directly congruent" می نامند.

اگر دارای جهت یکسان نباشند آنگاه برای منطبق کردن یکی بر دیگری، میتوان دنباله ای را بدست آورد که غیر از انتقالها و دوران های متوالی حاوی تقارنی منفرد نسبت به خطی راست باشد. شکلهایی چنین را وارون - همنهشت "inversely congruent" می نامند.

انتقالها، دورانها و تقارنها به تبدیل های هم نهشتی موسوم اند و می توانند در بررسی شکلهای مسطح به عنوان معیارهای همنهشتی به کار روند، اما این کاربرد به هیچ وجه در برگیرنده سودمندی آنها به عنوان وسیله ای در کشف مطالب تازه هندسی نیست. این جزوه عالی را هم از دست ندهید: دانلود رایگان جزوه آموزشی فصل سوم ریاضی نهم - ریاضی 9 : استدلال و اثبات در هندسه

چهار قضیه در مورد همنهشتی مثلثها

در تعریف همنهشتی نیاز است که شکلها در جمیع جنبه ها سازگار باشند، بخصوص طولهای اضلاع متناظر و زوایای بین انها برابر باشند. قضایای زیر بیان می کند که در مورد حالات خاصی از مثلثها کافی است که برای امتحان هم نهشتی سه جز آنها را مورد بررسی قرار دهیم. اگر این سه جز در دو مثلث برابر باشند مثلثها همنهشت هستند.

1. دو مثلث هم نهشت اند اگر طول یک ضلع یکی از انها برابر طول ضلع نظیرش از دیگری و دو زاویه آنها برابر دو زاویه نظیرشان از دیگری باشد

2. دو مثلث هم نهشت اند اگر طولهای دو ضلع یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های بین این ضلعها برابر باشند

3. دو مثلث هم نهشت اند اگر طولهای دو ضلع یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های مقابل ضلع های بزرگتر آنها برابر باشند

4. دو مثلث هم نهشت اند اگر طولهای سه ضلع از یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری باشند.

تشابه مثلث ها به زبان ساده از ریاضی نهم

در این بخش در رابطه با تشابه مثلث ها از ریاضی نهم توضیحات خوبی ارائه می شود. اگر در این مبحث اشکال دارید از معلم های ریاضی نهم حاضر در همین سایت ایران مدرس کمک بگیرید.

همانطور که در سایت ویکی پدیا توضیح داده شده است، دو مثلث △ABC و △A′B′C′ متشابه هستند اگر و تنها اگر اندازهٔ زوایای متناظر برابر باشد: از این می‌توان نتیجه گرفت که آن دو مثلث متشابه هستند اگر و تنها اگر اضلاع متناظر متناسب باشند. می‌توان نشان داد دو مثلث که با زوایای برابر متشابه هستند و می‌توان ثابت کرد که اضلاع متناظر نیز در این صورت متناسب هستند. این حالت به عنوان قضیهٔ تشابه ززز شناخته می‌شود. توجه شود که «ززز» تنها یک یادیار است و هر ز یه یکی از سه «زاویهٔ» مثلث اشاره دارد. با توجه به این قضیه گاهی برای ساده‌سازی در تعریف مثلث متشابه، انطباق زوایای متناظر دو مثلث را کافی می‌دانند. گزاره‌های زیادی هستند که شرط لازم و کافی برای تشابه دو مثلث را بیان می‌کنند. مطالعه نمائید: دانلود تست کنکور بحث تشابه (هندسه) - درس و تست

مثلث‌هایی که زوایای برابر داشته باشند که در هندسهٔ اقلیدسی بر همنهشت بودن تمام زوایای آن دلالت دارد. به عبارت دیگر: اگر اندازهٔ زاویهٔ ∠BAC با ∠B′A′C′ برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ ∠ABC با ∠A′B′C′ برابر باشد؛ آنگاه زاویهٔ ∠ACB با ∠A′C′B′ نیز برابر است و مثلث‌ها هم‌نهشتند.

AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C

اضلاع متناظر متناسب باشند: AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C. به عبارت دیگر این گزاره هم ارز است با گفتن اینکه هر مثلث (یا تصویر قرینهٔ آن) با مثلث دیگر متجانس است.

نسبت دو ضلع برابر باشد و اندازهٔ زاویهٔ بین دو ضلع برابر باشد. مثلا: AB/A′B′ = BC/B′C′ و اندازهٔ ∠ABC با ∠A′B′C′ برابر است.

این حالت با نام تشابه ض‌زض شناخته می‌شود. «ض‌زض» تنها یک یادیار است و هر ض یه یکی از دو «ضلع» اشاره دارد و حرف ز به «زاویهٔ» بین آن دو ضلع اشاره دارد. مطالعه نمائید: دانلود جزوه نکات کنکوری و تستهای کنکور همراه با پاسخ تشریحی درس هندسه 1 مبحث تشابه

به صورت خلاصه داریم:

1- اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر متساوی باشند, آن دو مثلث متشابهند.

2- اگر دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه های بین آنها متساوی باشند, آن دو مثلث متشابهند.

3- اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند آن دو مثلث متشابهند.

دقت کنید که تشابه دو مثلث با هم نهشتی دو مثلث بحث متفاوتی است. وقتی دو مثلث هم نهشت هستند یعنی می توان آنها را روی هم قرار داد و به صورت کامل بر هم منطبق خواهند شد. اما در بحث تشابه فقط اضلاع مثلث ها با هم متناسب هستند. حتما ببینید: نمونه ویدئوی تدریس خصوصی هندسه استاد احمدی - حل سوال به زبان ساده از تشابه مثلث ها

گردآوری: ایران مدرس